QUESTÃO 9
O valor da integral dupla
em que
é a região limitada por
e
, é igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
onde
é a região limitada por
,
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As curvas que limitam
são (linha com inclinação ), (reta horizontal) e (eixo ). - Os pontos de interseção formam um triângulo com vértices em
, e . - A integral pede a soma (integral dupla) de
sobre essa região .
O que precisamos entregar: o valor numérico exato da integral dupla indicada (comparável às alternativas (A)–(E)).
Passo 2
Escolher uma ordem de integração e descrever
em termos de limites. Como o triângulo tem base vertical em
e lado diagonal
, é natural integrar primeiro em
e depois em
.
Para um
fixo entre
e
, o
varia de
até
. Portanto os limites são:
Assim a integral dupla pode ser escrita como integral iterada
Passo 3
Resolver a integral interna em
. Aqui
é tratado como constante (porque estamos integrando em
).
Calcular
A primitiva de
em relação a
(com
constante) é
, desde que
. Para
o integrando é
e a fórmula continua válida por continuidade. Assim
Simplificando o fator
obtemos o integrando reduzido para a integração em
:
Passo 4
Agora integrar em
:
Para a primeira integral use a substituição
. Então
, ou seja
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
A segunda integral é simples:
Passo 5
Reunindo os dois termos encontrados:
- primeiro termo:
, - segundo termo:
.
A integral total é a diferença entre esses dois termos. (A combinação final e a forma equivalente simplificada da resposta estão na seção de resposta abaixo.)