QUESTÃO 9

O valor da integral dupla
\iint_{D} y^{2} e^{x y} d A,
em que D é a região limitada por y=x, y=4 e x=0, é igual a
(A) \frac{e^{16}-17}{2}
(B) \frac{e^{16}-1}{2}
(C) \frac{e^{16}-16}{2}
(D) e^{16}-8
(E) \frac{e^{16}-9}{2}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{D} y^{2} e^{x y}\, dA,
onde D é a região limitada por y=x, y=4 e x=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As curvas que limitam D são y=x (linha com inclinação 45^\circ), y=4 (reta horizontal) e x=0 (eixo y).
  • Os pontos de interseção formam um triângulo com vértices em (0,0), (0,4) e (4,4).
  • A integral pede a soma (integral dupla) de y^{2} e^{x y} sobre essa região D.
O que precisamos entregar: o valor numérico exato da integral dupla indicada (comparável às alternativas (A)–(E)).

Passo 2

Escolher uma ordem de integração e descrever D em termos de limites. Como o triângulo tem base vertical em x=0 e lado diagonal y=x, é natural integrar primeiro em x e depois em y.
Para um y fixo entre 0 e 4, o x varia de x=0 até x=y. Portanto os limites são:
0\le y\le 4,\qquad 0\le x\le y.
Assim a integral dupla pode ser escrita como integral iterada
\iint_{D} y^{2} e^{x y}\, dA = \int_{y=0}^{4}\left(\int_{x=0}^{y} y^{2} e^{x y}\, dx\right) dy.

Passo 3

Resolver a integral interna em x. Aqui y é tratado como constante (porque estamos integrando em x).
Calcular
\int_{x=0}^{y} y^{2} e^{x y}\, dx = y^{2}\int_{0}^{y} e^{x y}\, dx.
A primitiva de e^{x y} em relação a x (com y constante) é \dfrac{1}{y}e^{x y}, desde que y\neq 0. Para y=0 o integrando é 0 e a fórmula continua válida por continuidade. Assim
y^{2}\int_{0}^{y} e^{x y}\, dx = y^{2}\left[\frac{1}{y}e^{x y}\right]_{x=0}^{x=y} = y^{2}\cdot\frac{1}{y}\left(e^{y^{2}}-1\right).
Simplificando o fator y^{2}\cdot\frac{1}{y} obtemos o integrando reduzido para a integração em y:
\int_{x=0}^{y} y^{2} e^{x y}\, dx = y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr).

Passo 4

Agora integrar em y:
\iint_{D} y^{2} e^{x y}\, dA = \int_{0}^{4} y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr)\, dy = \int_{0}^{4} y e^{y^{2}}\, dy - \int_{0}^{4} y\, dy.
Para a primeira integral use a substituição u=y^{2}. Então \,du=2y\,dy, ou seja y\,dy=\dfrac{du}{2}. Quando y vai de 0 a 4, u vai de 0 a 16. Assim
\int_{0}^{4} y e^{y^{2}}\, dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{16} e^{u}\, du = \frac{1}{2}\bigl(e^{16}-1\bigr).
A segunda integral é simples:
\int_{0}^{4} y\, dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = \frac{4^{2}}{2} = 8.

Passo 5

Reunindo os dois termos encontrados:
  • primeiro termo: \dfrac{1}{2}\bigl(e^{16}-1\bigr),
  • segundo termo: 8.
A integral total é a diferença entre esses dois termos. (A combinação final e a forma equivalente simplificada da resposta estão na seção de resposta abaixo.)

Resposta

\dfrac{e^{16}-17}{2}

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