QUESTÃO 7

O plano tangente à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no ponto Q=(1,1, \sqrt{2}) é dado por
(A) x+y+\sqrt{2} z-4=0
(B) x+y-\sqrt{2} z-4=0
(C) \sqrt{2} x+\sqrt{2} y+z-4=0
(D) x-y+\sqrt{2} z-4=0
(E) x+y+\sqrt{2} z+4=0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A esfera é dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
  • O ponto de tangência é Q=(1,1,\sqrt{2}).
  • Pede-se a equação do plano tangente à esfera em Q, entre as alternativas (A) a (E).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para uma superfície dada por uma equação de nível F(x,y,z)=\text{constante}, o vetor gradiente \nabla F no ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Isso acontece porque \nabla F aponta na direção de maior variação de F; movimentos tangenciais não mudam F, logo são ortogonais a \nabla F.
Passando isso para a prática: se F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então o plano tangente em Q=(x_{0},y_{0},z_{0}) tem equação
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})\bigr)=0,
ou seja, o produto escalar do vetor normal com o vetor posição relativo ao ponto deve ser zero.

Passo 3

Calcular o gradiente de F. Por definição,
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Como F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, as derivadas parciais são \dfrac{\partial F}{\partial x}=2x, \dfrac{\partial F}{\partial y}=2y, \dfrac{\partial F}{\partial z}=2z. Portanto
\nabla F(x,y,z)=(2x,2y,2z).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto Q=(1,1,\sqrt{2}):
\nabla F(1,1,\sqrt{2})=(2\cdot1,\,2\cdot1,\,2\cdot\sqrt{2})=(2,2,2\sqrt{2}).
Esse é um vetor normal ao plano tangente em Q. Podemos simplificar dividindo por 2 (qualquer múltiplo não-nulo do normal serve), obtendo o normal simplificado (1,1,\sqrt{2}).

Passo 5

Escrever a equação do plano com esse normal. A forma geral é
a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,
onde (a,b,c) é o vetor normal e (x_{0},y_{0},z_{0}) é o ponto. Substituindo (a,b,c)=(1,1,\sqrt{2}) e (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,\sqrt{2}), temos
1\cdot(x-1)+1\cdot(y-1)+\sqrt{2}\cdot(z-\sqrt{2})=0.

Passo 6

Desenvolver a expressão e simplificar passo a passo:
(x-1)+(y-1)+\sqrt{2}z-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=0,
como \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, segue
x-1+y-1+\sqrt{2}z-2=0.
Somando os termos constantes -1-1-2=-4, obtemos finalmente
x+y+\sqrt{2}z-4=0.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a equação obtida coincide com a alternativa (A).

Resposta

(A)

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