QUESTÃO 7
O plano tangente à esfera
no ponto
é dado por
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A esfera é dada por
. - O ponto de tangência é
. - Pede-se a equação do plano tangente à esfera em
, entre as alternativas (A) a (E).
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): para uma superfície dada por uma equação de nível
, o vetor gradiente
no ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Isso acontece porque
aponta na direção de maior variação de
; movimentos tangenciais não mudam
, logo são ortogonais a
.
Passando isso para a prática: se
, então o plano tangente em
tem equação
ou seja, o produto escalar do vetor normal com o vetor posição relativo ao ponto deve ser zero.
Passo 3
Calcular o gradiente de
. Por definição,
Como
, as derivadas parciais são
,
,
. Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
Esse é um vetor normal ao plano tangente em
. Podemos simplificar dividindo por
(qualquer múltiplo não-nulo do normal serve), obtendo o normal simplificado
.
Passo 5
Escrever a equação do plano com esse normal. A forma geral é
onde
é o vetor normal e
é o ponto. Substituindo
e
, temos
Passo 6
Desenvolver a expressão e simplificar passo a passo:
como
, segue
Somando os termos constantes
, obtemos finalmente
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas, a equação obtida coincide com a alternativa (A).
Resposta
(A)