6.3-2 Um sinal x(t)\) com período \(2 \pi\) é especificado em um período por
\[x(t)= \begin{cases}\frac{1}{A} t & 0 \leq t<A \\\\ 1 & A \leq t<\pi \\\\ 0 & \pi \leq t<2 \pi\end{cases}
Trace x(t)\] em dois períodos de \(t=0 a 4 \pi. Mostre que os coeficientes D_{n} da série exponencial de Fourier são dados por
D_{n}= \begin{cases}\frac{2 \pi-A}{4 \pi} & n=0 \\\ \frac{1}{2 \pi n}\left(\frac{e^{-j A n}-1+j n A e^{-j n \pi}}{A n}\right) & \text { caso } \\\ \text { contrário }\end{cases}
Passo 1
O enunciado dá um sinal periódico com período 2\pi\) cuja forma em um período \(0\le t<2\pi\) é
\[x(t)= \begin{cases}\dfrac{1}{A}\,t & 0 \leq t<A, \\[6pt] 1 & A \leq t<\pi, \\[4pt] 0 & \pi \leq t<2 \pi.\end{cases}
As tarefas pedidas são:
Traçar (descrever) x(t)\] em dois períodos, de \[t=0 a t=4\pi.
Mostrar que os coeficientes D_{n} da série exponencial de Fourier valem
D_{n}= \begin{cases}\dfrac{2 \pi-A}{4 \pi} & n=0, \\[6pt] \dfrac{1}{2 \pi n}\left(\dfrac{e^{-j A n}-1+j n A e^{-j n \pi}}{A n}\right) & n\neq 0.\end{cases}
Informações relevantes dadas:
Período T=2\pi\].
- Em um período os trechos são: rampa \(\dfrac{t}{A} em 0\le t<A, constante 1 em A\le t<\pi, e zero em \pi\le t<2\pi.
- Coeficientes D_n são os coeficientes da série exponencial complexa (para todos os inteiros n).]
Passo 2
Desenho/traçado em dois períodos (descrição detalhada de 0 a 4\pi):
No primeiro período, 0\le t<2\pi:
Para 0\le t<A: x(t)=\dfrac{t}{A} — uma rampa que cresce linearmente de 0 em t=0 até 1 em t=A.
Para A\le t<\pi: x(t)=1 — nível constante igual a 1.
Para \pi\le t<2\pi: x(t)=0 — nível zero.
No segundo período, 2\pi\le t<4\pi, por periodicidade x(t+2\pi)=x(t):
Para 2\pi\le t<2\pi+A: x(t)=\dfrac{t-2\pi}{A} — rampa idêntica deslocada.
Para 2\pi + A\le t<2\pi+\pi=3\pi: x(t)=1.
Para 3\pi\le t<4\pi: x(t)=0.
Dica visual rápida: em cada período há uma rampa curta até 1, depois um trecho em 1 até \pi, e depois zero até o fim do período; repetir a cada 2\pi.
Passo 3
Fórmula dos coeficientes da série exponencial complexa:
Para um sinal periódico de período T os coeficientes D_n são
D_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\,e^{-j n \omega_0 t}\,dt,
onde \omega_0=\dfrac{2\pi}{T} e n\in\mathbb{Z}. Aqui T=2\pi, logo \omega_0=1, e podemos tomar o intervalo de integração como [0,2\pi]. Assim
D_n=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} x(t)\,e^{-j n t}\,dt.
Explicando as variáveis:
T é o período (aqui 2\pi).
\omega_0 é a frequência angular fundamental.
n é um índice inteiro (coeficiente do modo exponencial e^{j n t}).
D_n=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} x(t)e^{-j n t}\,dt =\frac{1}{2\pi}\Big(\int_{0}^{A}\frac{t}{A}e^{-j n t}\,dt+\int_{A}^{\pi}e^{-j n t}\,dt+\int_{\pi}^{2\pi}0\cdot e^{-j n t}\,dt\Big).
A terceira integral é zero, então só precisamos das duas primeiras. Defina
I_1=\int_{0}^{A}\frac{t}{A}e^{-j n t}\,dt=\frac{1}{A}\int_{0}^{A} t e^{-j n t}\,dt, \qquad I_2=\int_{A}^{\pi}e^{-j n t}\,dt.
Calcule I_1 por integração por partes. Escolha
u=t,\qquad dv=e^{-j n t}\,dt.
Então du=dt e v=\dfrac{e^{-j n t}}{-j n}. A fórmula dá
\int t e^{-j n t}\,dt = u v - \int v\,du = -\frac{t e^{-j n t}}{j n} - \int\Big(-\frac{e^{-j n t}}{j n}\Big)\,dt = -\frac{t e^{-j n t}}{j n} - \frac{e^{-j n t}}{(j n)^2} + C.
Avalie de 0 a A:
\int_{0}^{A} t e^{-j n t}\,dt = \Big[-\frac{t e^{-j n t}}{j n} - \frac{e^{-j n t}}{(j n)^2}\Big]_{0}^{A} = -\frac{A e^{-j n A}}{j n} - \frac{e^{-j n A}}{(j n)^2} -\Big(0 - \frac{1}{(j n)^2}\Big).
Logo
\int_{0}^{A} t e^{-j n t}\,dt = -\frac{A e^{-j n A}}{j n} + \frac{1 - e^{-j n A}}{(j n)^2}.
Dividindo por A obtém-se
I_1=\frac{1}{A}\int_{0}^{A} t e^{-j n t}\,dt = -\frac{e^{-j n A}}{j n} + \frac{1 - e^{-j n A}}{A (j n)^2}.
Agora calcule I_2 (integral exponencial direta):
I_2=\int_{A}^{\pi} e^{-j n t}\,dt =\Big[\frac{e^{-j n t}}{-j n}\Big]_{A}^{\pi} = \frac{e^{-j n A}-e^{-j n \pi}}{j n}.
Some I_1 e I_2:
I_1+I_2 = \Big(-\frac{e^{-j n A}}{j n} + \frac{1 - e^{-j n A}}{A (j n)^2}\Big) + \frac{e^{-j n A}-e^{-j n \pi}}{j n}.
Agrupando os termos com 1/(j n):
-\frac{e^{-j n A}}{j n} + \frac{e^{-j n A}-e^{-j n \pi}}{j n} = -\frac{e^{-j n \pi}}{j n}.
Portanto
I_1+I_2 = -\frac{e^{-j n \pi}}{j n} + \frac{1 - e^{-j n A}}{A (j n)^2}.
Agora coloque em D_n:
D_n=\frac{1}{2\pi}\Big(I_1+I_2\Big) =\frac{1}{2\pi}\Big(-\frac{e^{-j n \pi}}{j n} + \frac{1 - e^{-j n A}}{A (j n)^2}\Big).
Vamos manipular essa expressão para obter a forma solicitada. Primeiro note que (j n)^2=-n^2. Colocando sobre o denominador comum 2\pi A (j n)^2 obtemos
D_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{(1 - e^{-j n A}) - A (j n) e^{-j n \pi}}{A (j n)^2}.
Usando (j n)^2=-n^2 (trocando o sinal do denominador) e reescrevendo, chega-se a
D_n=\frac{e^{-j n A}-1 + j n A e^{-j n \pi}}{2\pi A n^{2}}.
Finalmente factorize n para apresentar na forma dada no enunciado:
D_n=\frac{1}{2\pi n}\left(\frac{e^{-j A n}-1 + j n A e^{-j n \pi}}{A n}\right),\qquad n\neq 0,