Questão 1)(valor 1.0 ponto) Um sistema LTI de tempo contínuo tem entrada
. Para essa entrada
, observa-se que a saída é
. Encontre a resposta ao impulso desse sistema.
Passo 1
O enunciado dá a entrada e a saída de um sistema LTI causal no tempo contínuo e pede a resposta ao impulso do sistema. Dados fornecidos:
- Entrada:
. - Saída:
.
O que se pede: encontrar a resposta ao impulsodesse sistema, isto é, a função (ou distribuição) tal que (convolução).
Passo 2
Estratégia escolhida (apenas anunciando a ferramenta; a resolução começa no passo seguinte): para sistemas LTI causais é muito prático usar a transformada de Laplace unilateral porque transforma convolução em produto:
. Assim calculo
,
, obtenho
e faço a transformada inversa.
Passo 3
Lembrete (fórmulas que vou usar):
- Definição da transformada de Laplace unilateral para sinais causais:
. - Transformadas padrões úteis:
-
. -
(para ). - Para distribuições:
e .
Cada símbolo:é a variável complexa da transformada; é constante positiva aqui; é a função degrau unitário; é o impulso de Dirac.
-
Passo 4
Calcular
. Como
, aplicando linearidade:
Colocando em único termo:
Passo 5
Calcular
. Como
,
Passo 6
Obter
por divisão:
Multiplico numerador e denominador convenientemente para simplificar:
Agora desenvolvo termo a termo:
Somando os termos com denominador comum onde necessário:
logo
Coloco em um único quociente sobre
:
Passo 7
Simplificar
por divisão polinomial:
Portanto
Passo 8
Aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo:
- O termo
tem inversa . - O termo
corresponde à transformada de , pois .
Assim, a resposta ao impulso (que pode ser uma distribuição) é
Passo 9
Comentário didático final (como usar isso numa prova): sempre que der entrada e saída de um LTI causal com combinações de expoentes multiplicados por
, a forma mais direta é:
- Calcular
e . - Fazer
. - Simplificar e inverter.
Se aparecer um polinômio emem isso indica termos impulsivos (ex.: -> , -> , etc.). Não esquecer que esses termos são distribuições, perfeitamente válidos como resposta ao impulso de sistemas que tenham derivadas ou “ação instantânea” no caminho.