) Questão.

Verifique se as funções e , da forma
ãçõçã

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções em forma de séries de potência
y1(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!, y2(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!
e pede para verificar se elas satisfazem a equação diferencial
y''+y=0
Como cada série tem raio de convergência infinito, podemos diferenciar termo a termo e depois reindexar a soma para comparar com a série original.

Passo 2

Calculemos y1''. Primeiro, diferenciando termo a termo temos
y1'(x) =sumn=1^infty(-1)^n2n,x^2n-1(2n)! =sumn=1^infty(-1)^nx^2n-1(2n-1)!
Outra diferenciação dá
y1''(x) =sumn=1^infty(-1)^n(2n-1),x^2n-2(2n-1)! =sumn=1^infty(-1)^nx^2n-2(2n-2)!
Fazendo k=n-1 obtemos
y1''(x) =sumk=0^infty(-1)^k+1x^2k(2k)! =-sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)! =-y1(x)
Logo y1''+y1=0.

Passo 3

Agora para y2. Diferenciando:
y2'(x) =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1),x^2n(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)! =y1(x)
Outra diferenciação dá
y2''(x)=y1'(x) =sumn=1^infty(-1)^nx^2n-1(2n-1)! =-summ=0^infty(-1)^mx^2m+1(2m+1)! =-y2(x)
Então y2''+y2=0.

Resposta

As duas funções y1 e y2 satisfazem a equação y''+y=0.

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