48^circ ) Questão.
Seja
f(x)=11-x=sumn=0^infty x^n, então determine: ã
a) f^prime(x) e a série que representa f^prime(x).
b) integral f(x) d x e a série que representa integral f(x) d x.
c) integral0^1 / 2 f(x) d x e a série que representa integral0^1 / 2 f(x) d x.

Passo 1

Temos a função
f(x)=11-x
e a sua expansão em série de potências válida para lvert xrvert<1:
f(x)=sumn=0^inftyx^n
Para resolver (a) vamos diferenciar termo a termo dentro do raio de convergência; para (b) vamos integrar termo a termo e usar a integral primitiva de 1/(1-x); para (c) vamos avaliar a integral de 0 a 1/2 tanto pela primitiva quanto pela série.

Passo 2

Diferenciando f(x)=11-x obtemos
f'(x)=ddxl((1-x)^-1r)=(1-x)^-2
Agora diferenciando a série
sumn=0^inftyx^n
termo a termo, para n>=1,
ddxl(x^nr)=n,x^n-1,
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f'(x)=sumn=1^inftyn,x^n-1
Reindexando com m=n-1 (ou escrevendo n-1to n) dá
f'(x)=sumn=0^infty(n+1),x^n

Passo 3

Para a integral indefinida, sabemos
integral11-x,dx=-lnl(1-xr)+C
Integrando a série de f(x) termo a termo,
integral x^n,dx=x^n+1n+1,
obtemos
integral f(x),dx =sumn=0^inftyx^n+1n+1+C

Passo 4

Para a integral definida de 0 a 1/2, usamos a primitiva -ln(1-x):
integral0^1/2!f(x),dx =l[-ln(1-x)r]0^1/2 =-lnl(1-tfrac12r)+lnl(1-0r) =-lnl(tfrac12r)=ln2
Pela série,
integral0^1/2!f(x),dx =sumn=0^infty1n+1l(12r)^n+1 =sumn=0^infty(1/2)^n+1n+1

Resposta

(a) f'(x)=dfrac1(1-x)^2, representado pela série
sumn=1^inftyn,x^n-1 ;=;sumn=0^infty(n+1),x^n
(b) integral f(x),dx=-ln(1-x)+C, representado pela série
sumn=0^inftyx^n+1n+1+C
(c) integral0^1/2f(x),dx=ln2, representado pela série
sumn=0^infty(1/2)^n+1n+1

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