) Questão.
Seja
a)
e a série que representa
.
b)
e a série que representa
.
c)
e a série que representa
.
Seja
b)
c)
Passo 1
Temos a função
e a sua expansão em série de potências válida para
:
Para resolver (a) vamos diferenciar termo a termo dentro do raio de convergência; para (b) vamos integrar termo a termo e usar a integral primitiva de
; para (c) vamos avaliar a integral de
a
tanto pela primitiva quanto pela série.
Passo 2
Diferenciando
obtemos
Agora diferenciando a série
termo a termo, para
,
logo
Reindexando com
(ou escrevendo
) dá
Passo 3
Para a integral indefinida, sabemos
Integrando a série de
termo a termo,
obtemos
Passo 4
Para a integral definida de
a
, usamos a primitiva
:
Pela série,
Resposta
(a)
, representado pela série
(b)
, representado pela série
(c)
, representado pela série