Questão 1 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{3}, \tilde{V}=\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}), T(x, y, z)=\left(\begin{array}{cc}x-2 & x+2 \\\ x & 2\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
T\colon \mathbb{R}^3\to \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}),\qquad T(x,y,z)=\begin{pmatrix}x-2 & x+2\\\ x & 2\end{pmatrix}
é linear. Se for, determinar posto e nulidade; caso contrário, dar um contra-exemplo ou justificar.

Passo 2

Calculemos T(0,0,0):
T(0,0,0)=\begin{pmatrix}0-2 & 0+2\\\ 0&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&2\\\ 0&2\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Logo T não envia o vetor zero ao zero, violando a linearidade.

Resposta

T não é transformação linear.

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