Questão 2 Considere um transformação linear T em \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), \mathbb{R}^{2}\right) com T(1+x)=(1,2), T\left(x+x^{2}\right)=(0,1) e T(3)=(0,0).
(a) Determine T\left((x-1)^{2}\right);
(b) Determine posto e nulidade de T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:\mathcal{P}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2
com
T(1+x)=(1,2),\quad T(x+x^2)=(0,1),\quad T(3)=(0,0).
Pede-se:
(a) T\bigl((x-1)^2\bigr).
(b) posto (dimensão da imagem) e nulidade (dimensão do núcleo) de T.
Vamos usar a base canônica \{1,x,x^2\} e a propriedade de linearidade de T.

Passo 2

Determinamos primeiro T(1), T(x) e T(x^2):
– Como T(3)=3\,T(1)=(0,0), segue
T(1)=(0,0).
– De T(1+x)=T(1)+T(x)=(1,2) vem
T(x)=(1,2).
– De T(x+x^2)=T(x)+T(x^2)=(0,1) obtemos
T(x^2)=(0,1)-(1,2)=(-1,-1).

Passo 3

Para calcular T\bigl((x-1)^2\bigr), escrevemos
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1.
Pela linearidade,
T\bigl((x-1)^2\bigr) = T(x^2)-2\,T(x)+T(1) = (-1,-1)-2\,(1,2)+(0,0) = (-3,-5).

Passo 4

O posto de T é \dim\Image(T). Como
\Image(T)=\Span\{T(1),T(x),T(x^2)\} =\Span\{(0,0),(1,2),(-1,-1)\},
os vetores (1,2) e (-1,-1) são linearmente independentes (não há \lambda tal que (1,2)=\lambda(-1,-1)). Logo
\dim\Image(T)=2.
Pelo Teorema Núcleo-Imagem,
\dim\Ker(T)=\dim\mathcal{P}_2(\mathbb{R})-\dim\Image(T)=3-2=1.

Resposta

(a) T\bigl((x-1)^2\bigr)=(-3,-5).
(b) posto =2, nulidade =1.

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