Questão 2 Verifique se as funções
são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de
. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
;
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
.
O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaços de dimensão finita; vamos verificar a linearidade e, em seguida, usar fórmulas de dimensão para núcleos (matrizes simétricas) e imagem (matrizes antissimétricas).
O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaços de dimensão finita; vamos verificar a linearidade e, em seguida, usar fórmulas de dimensão para núcleos (matrizes simétricas) e imagem (matrizes antissimétricas).
Passo 2
Verificamos linearidade em duas propriedades:
-
-
Logo,é linear.
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto
, isto é,
.
Portanto é o espaço das matrizes simétricas.
Portanto
Passo 4
A dimensão do espaço das matrizes simétricas
é
Passo 5
A imagem de
é o espaço das matrizes antissimétricas, pois
.
Passo 6
A dimensão do espaço das matrizes antissimétricas
é
Resposta
T é linear.
posto , nulidade
.
posto