Questão 2 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathcal{M}_{16 \times 16}, \tilde{V}=\mathcal{M}_{16 \times 16}, T(A)=A-A^{T};

Passo 1

O enunciado dá a transformação \displaystyle T\colon \mathcal{M}_{16\times16}\to \mathcal{M}_{16\times16} definida por \displaystyle T(A)=A - A^T.
O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaços de dimensão finita; vamos verificar a linearidade e, em seguida, usar fórmulas de dimensão para núcleos (matrizes simétricas) e imagem (matrizes antissimétricas).

Passo 2

Verificamos linearidade em duas propriedades:
  1. \displaystyle T(A+B)= (A+B)-(A+B)^T = A+B - A^T - B^T = T(A)+T(B).
  2. \displaystyle T(cA)= cA - (cA)^T = cA - c\,A^T = c\,(A - A^T) = c\,T(A).
    Logo, T é linear.

Passo 3

O núcleo de T é o conjunto \{A\mid T(A)=0\}, isto é, \displaystyle A - A^T = 0\implies A = A^T.
Portanto \ker T é o espaço das matrizes simétricas.

Passo 4

A dimensão do espaço das matrizes simétricas 16\times16 é
\dim\ker T = \frac{16\,(16+1)}{2} =136.

Passo 5

A imagem de T é o espaço das matrizes antissimétricas, pois \displaystyle (A-A^T)^T = A^T - A = -(A-A^T).

Passo 6

A dimensão do espaço das matrizes antissimétricas 16\times16 é
\dim\operatorname{Im}T = \frac{16\,(16-1)}{2} =120.

Resposta

T é linear.
posto \,T=120, nulidade \,T=136.

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