Questão 2 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathcal{M}_{16 \times 16}, \tilde{V}=\mathcal{M}_{16 \times 16}, T(A)=A^{T};

Passo 1

O enunciado define T\colon V\to\tilde V com V=\mathcal{M}_{16\times16}, \tilde V=\mathcal{M}_{16\times16} e
T(A)=A^T.
Queremos verificar se T é linear e, em caso afirmativo, calcular posto e nulidade. Vamos usar a definição de transformação linear, caráter injetivo/sobrejetivo e o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Verificamos linearidade: para quaisquer A,B\in V e escalar c,
T(A+B)=(A+B)^T=A^T+B^T=T(A)+T(B),
T(cA)=(cA)^T=c\,A^T=c\,T(A).
Logo T é linear.

Passo 3

Analisamos o núcleo:
\ker T=\{A\in V\mid A^T=0\}.
Isso implica A=0, pois transpor não anula entradas não nulas. Logo \ker T=\{0\} e
\nulidade(T)=\dim\ker T=0.

Passo 4

A imagem de T é todo \mathcal{M}_{16\times16}, pois dado B basta tomar A=B^T para T(A)=B. Assim T é sobrejetora e
\posto(T)=\dim\tilde V=16^2=256.

Resposta

posto (T)=256
nulidade (T)=0

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