Questão 2 Verifique se as funções
são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de
. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
;
Passo 1
O enunciado define
com
,
e
Queremos verificar se
é linear e, em caso afirmativo, calcular posto e nulidade. Vamos usar a definição de transformação linear, caráter injetivo/sobrejetivo e o Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Verificamos linearidade: para quaisquer
e escalar
,
Logo
é linear.
Passo 3
Analisamos o núcleo:
Isso implica
, pois transpor não anula entradas não nulas. Logo
e
Passo 4
A imagem de
é todo
, pois dado
basta tomar
para
. Assim
é sobrejetora e
Resposta
posto
nulidade
nulidade