Questão 3 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathcal{P}_{1}, \tilde{V}=\mathcal{P}_{2}, T(p(x))=p\left(x^{2}\right);

Passo 1

O enunciado define V=\mathcal{P}_1, \tilde V=\mathcal{P}_2 e
T\colon V\to\tilde V,\quad T\bigl(p(x)\bigr)=p(x^2).
Precisamos verificar se T é linear e, se for, calcular a nulidade \dim\ker T e o posto \dim\im T.

Passo 2

Para p,q\in V e \alpha,\beta\in\mathbb{R},
T(\alpha p+\beta q) =(\alpha p+\beta q)(x^2) =\alpha\,p(x^2)+\beta\,q(x^2) =\alpha\,T(p)+\beta\,T(q),
logo T é linear.

Passo 3

Se p(x)=a+bx\in\ker T, então
T(p)=p(x^2)=a+bx^2\equiv0
implica a=0 e b=0. Logo \ker T=\{0\} e nulidade (T)=\dim\ker T=0.

Passo 4

A imagem de T é
\im T=\{\,a+bx^2\mid a,b\in\mathbb{R}\} =\span\{1,x^2\},
de modo que posto (T)=\dim\im T=2.

Resposta

T é linear.
posto (T)=2
nulidade (T)=0

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