Questão 3 Verifique se as funções T: V \longrightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathcal{P}_{2}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{3}, T(p)=(p(0), p(0)+p(1), 2 p(0));

Passo 1

O enunciado define T\colon V\to\tilde V com V=\mathcal P_2 e \tilde V=\mathbb R^3,
T(p)=(p(0),\,p(0)+p(1),\,2p(0)).
Vamos verificar se T é linear e, em caso afirmativo, calcular seu posto e nulidade.

Passo 2

Cada componente de T é combinação linear dos funcionais p\mapsto p(0) e p\mapsto p(1), ambos lineares. Logo, para quaisquer p,q\in V e \alpha,\beta\in\mathbb R,
T(\alpha p+\beta q) =(\alpha p(0)+\beta q(0),\,\alpha[p(0)+p(1)]+\beta[q(0)+q(1)],\,2(\alpha p(0)+\beta q(0))) =\alpha T(p)+\beta T(q).

Passo 3

Calculemos T na base canônica \{1,t,t^2\} de \mathcal P_2:
T(1)=(1,2,2),\quad T(t)=(0,1,0),\quad T(t^2)=(0,1,0).
Logo \mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{(1,2,2),\,(0,1,0)\}.

Passo 4

Os vetores (1,2,2) e (0,1,0) são linearly independentes em \mathbb R^3. Portanto
\mathrm{posto}\,T=\dim(\mathrm{Im}\,T)=2.

Passo 5

Pelo teorema de dimensão,
\dim V=\mathrm{posto}\,T+\mathrm{nulidade}\,T \implies 3=2+\mathrm{nulidade}\,T \implies \mathrm{nulidade}\,T=1.

Resposta

T é linear, \mathrm{posto}\,T=2 e \mathrm{nulidade}\,T=1.

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