Questão 6.

Verifique que
\mathcal{L}\{t \cos (\omega t)\}=\frac{s^{2}-\omega^{2}}{\left(s^{2}+\omega^{2}\right)^{2}}
Verifique que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\left(s^{2}+\omega^{2}\right)^{2}}\right\}=\frac{1}{2 \omega^{3}}\{\sin (\omega t)-\omega t \cos (\omega t)\} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: ( 1) verificar que
\mathcal{L}\{t\cos(\omega t)\}=\frac{s^{2}-\omega^{2}}{\bigl(s^{2}+\omega^{2}\bigr)^{2}}
e ( 2) verificar que
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{\bigl(s^{2}+\omega^{2}\bigr)^{2}}\Bigr\} =\frac{1}{2\,\omega^{3}}\bigl[\sin(\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\bigr].
Vamos usar duas propriedades-chave da transformada de Laplace:
1) \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
2) \mathcal{L}\{t\,f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}\bigr].
E, para a inversa, usaremos a diferenciação em relação a \omega.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} =\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Denotando F(s)=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}, vamos aplicar a propriedade de multiplicar por t.

Passo 3

Pela propriedade \mathcal{L}\{t\,f(t)\}=-F'(s), temos
\mathcal{L}\{t\cos(\omega t)\} =-\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\Bigr).

Passo 4

Calculamos a derivada:
-\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\Bigr) =-\frac{(s^{2}+\omega^{2})-s\cdot2s}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}} =\frac{s^{2}-\omega^{2}}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}.
Isso confirma a primeira fórmula.

Passo 5

Agora, para achar \mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{1/(s^{2}+\omega^{2})^{2}\bigr\},
usamos diferenciação em \omega. Observamos que
\frac{\partial}{\partial\omega}\!\Bigl(\frac{1}{s^{2}+\omega^{2}}\Bigr) =-\frac{2\omega}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}},
ou seja
\frac{1}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}} =-\frac{1}{2\omega}\,\frac{\partial}{\partial\omega}\! \Bigl(\frac{1}{s^{2}+\omega^{2}}\Bigr).

Passo 6

Aplicando \mathcal{L}^{-1} em ambos os lados,
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}\Bigr\} =-\frac{1}{2\omega}\,\frac{\partial}{\partial\omega} \Bigl[\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+\omega^{2}}\}\Bigr].
Sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+\omega^{2}}\Bigr\} =\frac{1}{\omega}\,\sin(\omega t).

Passo 7

Agora diferenciamos em \omega:
\frac{\partial}{\partial\omega}\! \Bigl(\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)\Bigr) =-\frac{1}{\omega^{2}}\sin(\omega t)+\frac{t}{\omega}\cos(\omega t).
Multiplicando por -1/(2\omega)
\frac{1}{2\omega^{3}}\sin(\omega t) -\frac{t}{2\omega^{2}}\cos(\omega t) =\frac{1}{2\omega^{3}}\bigl[\sin(\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\bigr].

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t\cos(\omega t)\} =\frac{s^{2}-\omega^{2}}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}} \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}\Bigr\} =\frac{1}{2\omega^{3}}\bigl[\sin(\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\bigr].

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