Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+34 y=0, \\\ y(0)=3, y^{\prime}(0)=1,\end{array}\right.

Passo 1

O problema é um valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6\,y' + 34\,y = 0,
com as condições
y(0)=3,\quad y'(0)=1.
O método consiste em encontrar as raízes do polinômio característico e montar a solução geral homogênea, depois ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico
r^2 + 6r + 34 = 0
e calculamos as raízes:
r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot1\cdot34}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 136}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-100}}{2} = -3 \pm 5\,i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -3\pm5i, a solução geral é
y(t) = e^{-3t}\bigl(C_1\cos 5t + C_2\sin 5t\bigr).

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais:
Para t=0 temos
y(0)=C_1=3.
Derivando,
y'(t)=-3e^{-3t}(C_1\cos5t + C_2\sin5t) + e^{-3t}(-5C_1\sin5t +5C_2\cos5t).
Em t=0:
y'(0) = -3C_1 + 5C_2 = 1.
Substituindo C_1=3:
-3\cdot3 + 5C_2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 5C_2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 2.

Resposta

y(t) = e^{-3t}\bigl(3\cos5t + 2\sin5t\bigr).

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