Questão 7. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas:
W=\left\{(1, a, b) \in \mathbb{R}^{3} ; a, b \in \mathbb{R}\right\};

Passo 1

O enunciado define o subconjunto W = \{(1,a,b)\in\mathbb{R}^3 \mid a,b\in\mathbb{R}\}
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 com as operações usuais. Para isso, usamos o teste de subespaço que exige:
  1. que o vetor zero pertença a W;
  2. que W seja fechado sob soma;
  3. que W seja fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0,0). Qualquer vetor em W tem primeira coordenada igual a 1, mas o vetor zero tem primeira coordenada 0\neq1. Logo
(0,0,0)\notin W,
falhando imediatamente a condição de conter o zero.

Passo 3

Para reforçar a não fechadura, tomemos \mathbf{u}=(1,a,b)\in W e \mathbf{v}=(1,c,d)\in W.
Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (1+1,\;a+c,\;b+d) = (2,a+c,b+d),
cuja primeira coordenada é 2\neq1, ou seja, \mathbf{u}+\mathbf{v}\notin W.

Passo 4

Na multiplicação escalar, seja \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(1,a,b)\in W.
\lambda\,\mathbf{u} = (\lambda\cdot1,\;\lambda a,\;\lambda b) = (\lambda,\lambda a,\lambda b).
Se \lambda\neq1, a primeira coordenada \lambda\neq1, então \lambda\,\mathbf{u}\notin W.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, pois não contém o vetor zero e falha em ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Exercícios relacionados