Questão 7. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas:
;
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pede para verificar se é subespaço vetorial de
com as operações usuais. Para isso, usamos o teste de subespaço que exige:
e pede para verificar se
- que o vetor zero pertença a
; - que
seja fechado sob soma; - que
seja fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero
. Qualquer vetor em
tem primeira coordenada igual a
, mas o vetor zero tem primeira coordenada
. Logo
falhando imediatamente a condição de conter o zero.
Passo 3
Para reforçar a não fechadura, tomemos
e
.
Então
Então
cuja primeira coordenada é
, ou seja,
.
Passo 4
Na multiplicação escalar, seja
e
.
Se
, a primeira coordenada
, então
.