Questão 7. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas:
W=\left\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \in C^{2} ; f^{\prime \prime}(x)-f(x)=0\right\};

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial ambiental como C^2(\mathbb{R}), o conjunto de todas as funções duas vezes continuamente diferenciáveis de \mathbb{R} em \mathbb{R}, e o subconjunto
W = \{\,f\in C^2(\mathbb{R}) \mid f''(x) - f(x) = 0\text{ para todo }x\in\mathbb{R}\}.
Queremos verificar se W é subespaço vetorial, ou seja, se nele estão a função zero e se ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a função zero, f_0(x)=0. Como
f_0''(x)-f_0(x)=0-0=0,
então f_0\in W. Logo, o vetor zero do espaço ambiente pertence a W.

Passo 3

Sejam f,g\in W. Então para todo x vale
f''(x)-f(x)=0 \quad\text{e}\quad g''(x)-g(x)=0.
Logo, para a soma h=f+g temos
h''(x)-h(x) =(f+g)''(x)-(f+g)(x) =f''(x)+g''(x)-f(x)-g(x) =(f''(x)-f(x))+(g''(x)-g(x)) =0+0=0.
Portanto, f+g\in W.

Passo 4

Seja f\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Definindo h=\alpha f, temos
h''(x)-h(x) =(\alpha f)''(x)-(\alpha f)(x) =\alpha f''(x)-\alpha f(x) =\alpha\bigl(f''(x)-f(x)\bigr) =\alpha\cdot 0 =0.
Assim, \alpha f\in W.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de C^2(\mathbb{R}), pois contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

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