Questão 7. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas:
;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial ambiental como
, o conjunto de todas as funções duas vezes continuamente diferenciáveis de
em
, e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço vetorial, ou seja, se nele estão a função zero e se ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a função zero,
. Como
então
. Logo, o vetor zero do espaço ambiente pertence a
.
Passo 3
Sejam
. Então para todo
vale
Logo, para a soma
temos
Portanto,
.
Passo 4
Seja
e
. Definindo
, temos
Assim,
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
, pois contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.