Questão B. (2-vetores em
)
Se
e
e
então podemos escrever um vetor
de
como:
Dados
vetores em
podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
Onde
e
são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica
. Calcule
onde:
e
Se
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
A pergunta é: calcular o 2-vetor (paralelogramo orientado)
usando a fórmula fornecida:
Primeiro identifico os componentes dos vetores a partir do enunciado:
Passo 2
Vou explicar rapidamente a operação que vou usar: cada coeficiente na combinação acima é um determinante
. A fórmula geral para um determinante
é
Geometricamente, esse determinante dá a área orientada do paralelogramo formado pelos vetores
e
no plano (a orientação pode ser positiva ou negativa). No nosso caso, cada determinante corresponde à área orientada da projeção dos vetores
e
nas três faces coordenadas:
,
e
.]
Passo 3
Calculo cada determinante substituindo os componentes que identifiquei:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Passo 4
Agora monto a expressão de
com esses coeficientes:
Interpretação rápida e útil para a prova: o resultado significa que o paralelogramo formado por
e
tem área (módulo)
quando projetado no plano
, e o sinal negativo informa a orientação relativa à base
. Note também a propriedade antissimétrica: se trocássemos a ordem,
.