Questão B. (2-vetores em \mathbb{R}^{3} )
Se \vec{i}=(1,0,0) e \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1) então podemos escrever um vetor \vec{u}=(a, b, c) de \mathbb{R}^{3} como:
\vec{u}=a \vec{\imath}+b \vec{\jmath}+c \vec{k}
Dados \vec{v}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{w}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3} podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
\vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{k}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}, \vec{\imath} \wedge \vec{k} e \vec{\jmath} \wedge \vec{k} são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}. Calcule \vec{v} \wedge \vec{w} onde:
\vec{v}=\vec{\imath}+5 \vec{\jmath} e \vec{w}=\vec{\imath}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{v}=\vec{\imath}+5\vec{\jmath},\qquad \vec{w}=\vec{\imath}.
A pergunta é: calcular o 2-vetor (paralelogramo orientado) \vec{v}\wedge\vec{w} usando a fórmula fornecida:
\vec{v}\wedge\vec{w}=\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_1 & a_2\\[2pt] b_1 & b_2\end{pmatrix}\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} +\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_1 & a_3\\[2pt] b_1 & b_3\end{pmatrix}\vec{\imath}\wedge\vec{k} +\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_2 & a_3\\[2pt] b_2 & b_3\end{pmatrix}\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Primeiro identifico os componentes dos vetores a partir do enunciado:
a_1=1,\quad a_2=5,\quad a_3=0;\qquad b_1=1,\quad b_2=0,\quad b_3=0.]

Passo 2

Vou explicar rapidamente a operação que vou usar: cada coeficiente na combinação acima é um determinante 2\times2. A fórmula geral para um determinante 2\times2 é
\operatorname{det}\begin{pmatrix}x & y\\[2pt] z & t\end{pmatrix}=x t - y z.
Geometricamente, esse determinante dá a área orientada do paralelogramo formado pelos vetores (x,z) e (y,t) no plano (a orientação pode ser positiva ou negativa). No nosso caso, cada determinante corresponde à área orientada da projeção dos vetores \vec{v} e \vec{w} nas três faces coordenadas: xy, xz e yz.]

Passo 3

Calculo cada determinante substituindo os componentes que identifiquei:
  1. Coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}:
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_1 & a_2\\[2pt] b_1 & b_2\end{pmatrix} =\operatorname{det}\begin{pmatrix}1 & 5\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} =1\cdot 0 - 5\cdot 1 = -5.
  1. Coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{k}:
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_1 & a_3\\[2pt] b_1 & b_3\end{pmatrix} =\operatorname{det}\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} =1\cdot 0 - 0\cdot 1 = 0.
  1. Coeficiente de \vec{\jmath}\wedge\vec{k}:
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_2 & a_3\\[2pt] b_2 & b_3\end{pmatrix} =\operatorname{det}\begin{pmatrix}5 & 0\\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix} =5\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0.]

Passo 4

Agora monto a expressão de \vec{v}\wedge\vec{w} com esses coeficientes:
\vec{v}\wedge\vec{w}=(-5)\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}+0\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{k}+0\cdot\vec{\jmath}\wedge\vec{k}=-5\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
Interpretação rápida e útil para a prova: o resultado significa que o paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w} tem área (módulo) 5 quando projetado no plano xy, e o sinal negativo informa a orientação relativa à base (\vec{\imath},\vec{\jmath}). Note também a propriedade antissimétrica: se trocássemos a ordem, \vec{w}\wedge\vec{v}=5\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.

Resposta

-5\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}

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