Questão B. (2-vetores em
)
Se
e
e
então podemos escrever um vetor
de
como:
Dados
vetores em
podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
Onde
e
são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica
. Calcule
onde:
e
Se
Passo 1
O enunciado pede para calcular o 2-vetor (o paralelogramo orientado)
para os vetores dados. As informações que temos são:
-
. -
.
O que se quer: calcular
escrito na base
.
Passo 2
O que é
e como se calcula (explicação didática).
- O produto
aqui forma um bivetor (um 2-vetor) que representa o paralelogramo orientado gerado por e . - É bilinear (linear em cada argumento) e anti-simétrico (isto é,
). - Na base canônica de
a fórmula dada no enunciado fornece os coeficientes da combinação linear nas três bases de 2-vetores. Esses coeficientes são determinantes construídos com as coordenadas dos vetores.
Passo 3
Escrevendo a fórmula geral (mostrando o que cada símbolo significa).
Se e
, então
Se
Aqui cada determinante
vale
. Vamos usar isso substituindo os
e
específicos do problema.]
Passo 4
Identificar os coeficientes
e
a partir dos vetores dados:
- Para
temos . - Para
temos .
Passo 5
Calcular o coeficiente de
:
Passo 6
Calcular o coeficiente de
:
Passo 7
Calcular o coeficiente de
:
Passo 8
Resumo dos coeficientes encontrados:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .