Questão B. (2-vetores em \mathbb{R}^{3} )
Se \vec{i}=(1,0,0) e \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1) então podemos escrever um vetor \vec{u}=(a, b, c) de \mathbb{R}^{3} como:
\vec{u}=a \vec{\imath}+b \vec{\jmath}+c \vec{k}
Dados \vec{v}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{w}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3} podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
\vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{k}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}, \vec{\imath} \wedge \vec{k} e \vec{\jmath} \wedge \vec{k} são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}. Calcule \vec{v} \wedge \vec{w} onde:
\vec{v}=4 \vec{\imath}+5 \vec{\jmath}-2 \vec{k} e \vec{w}=\vec{\imath}-3 \vec{\jmath}-4 \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o 2-vetor (o paralelogramo orientado) \vec{v}\wedge\vec{w} para os vetores dados. As informações que temos são:
  • \vec{v}=4\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-2\vec{k}.
  • \vec{w}=\vec{\imath}-3\vec{\jmath}-4\vec{k}.
O que se quer: calcular \vec{v}\wedge\vec{w} escrito na base \{\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath},\\ \vec{\imath}\wedge\vec{k},\\ \vec{\jmath}\wedge\vec{k}\}.

Passo 2

O que é \vec{v}\wedge\vec{w} e como se calcula (explicação didática).
  • O produto \wedge aqui forma um bivetor (um 2-vetor) que representa o paralelogramo orientado gerado por \vec{v} e \vec{w}.
  • É bilinear (linear em cada argumento) e anti-simétrico (isto é, \vec{v}\wedge\vec{w}=-\vec{w}\wedge\vec{v}).
  • Na base canônica de \mathbb{R}^3 a fórmula dada no enunciado fornece os coeficientes da combinação linear nas três bases de 2-vetores. Esses coeficientes são determinantes 2\times2 construídos com as coordenadas dos vetores.

Passo 3

Escrevendo a fórmula geral (mostrando o que cada símbolo significa).
Se \vec{v}=a_{1}\vec{\imath}+a_{2}\vec{\jmath}+a_{3}\vec{k} e \vec{w}=b_{1}\vec{\imath}+b_{2}\vec{\jmath}+b_{3}\vec{k}, então
\vec{v}\wedge\vec{w}=\det\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2}\\[4pt] b_{1} & b_{2}\end{pmatrix}\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} +\det\begin{pmatrix}a_{1} & a_{3}\\[4pt] b_{1} & b_{3}\end{pmatrix}\vec{\imath}\wedge\vec{k} +\det\begin{pmatrix}a_{2} & a_{3}\\[4pt] b_{2} & b_{3}\end{pmatrix}\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Aqui cada determinante \det\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix} vale xw-yz. Vamos usar isso substituindo os a_i e b_i específicos do problema.]

Passo 4

Identificar os coeficientes a_i e b_i a partir dos vetores dados:
  • Para \vec{v}=4\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-2\vec{k} temos a_{1}=4,\\ a_{2}=5,\\ a_{3}=-2.
  • Para \vec{w}=\vec{\imath}-3\vec{\jmath}-4\vec{k} temos b_{1}=1,\\ b_{2}=-3,\\ b_{3}=-4.

Passo 5

Calcular o coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}:
\det\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2}\\[4pt] b_{1} & b_{2}\end{pmatrix} = a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} = 4\cdot(-3)-5\cdot1 = -12-5 = -17.]

Passo 6

Calcular o coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{k}:
\det\begin{pmatrix}a_{1} & a_{3}\\[4pt] b_{1} & b_{3}\end{pmatrix} = a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1} = 4\cdot(-4)-(-2)\cdot1 = -16+2 = -14.]

Passo 7

Calcular o coeficiente de \vec{\jmath}\wedge\vec{k}:
\det\begin{pmatrix}a_{2} & a_{3}\\[4pt] b_{2} & b_{3}\end{pmatrix} = a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2} = 5\cdot(-4)-(-2)\cdot(-3) = -20-6 = -26.]

Passo 8

Resumo dos coeficientes encontrados:
  • Coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}: -17.
  • Coeficiente de \vec{\imath}\wedge\vec{k}: -14.
  • Coeficiente de \vec{\jmath}\wedge\vec{k}: -26.

Resposta

-17\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}-14\vec{\imath}\wedge\vec{k}-26\vec{\jmath}\wedge\vec{k}

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