QUESTÃO4 (2,5 pts.) - Reduza a forma retangular a+i b. Entcontre a forma polar de cada número.
\frac{1+i}{3-i 2}

Passo 1

O enunciado pede para reduzir o número complexo
\displaystyle \frac{1+i}{3-2i}
à forma retangular a+ib e, em seguida, escrever sua forma polar, calculando módulo e argumento.

Passo 2

Para eliminar o termo imaginário do denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 3-2i, que é 3+2i:
\frac{1+i}{3-2i} =\frac{(1+i)\,(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}.

Passo 3

Calculamos numerador e denominador separadamente:
Numerador:
(1+i)(3+2i)=1\cdot3+1\cdot2i+i\cdot3+i\cdot2i =3+2i+3i+2i^2 =3+5i-2 =1+5i.
Denominador:
(3-2i)(3+2i)=3^2+(2)^2=9+4=13.
Logo, em forma retangular,
\frac{1+i}{3-2i} =\frac{1+5i}{13} =\frac{1}{13}+i\,\frac{5}{13}.

Passo 4

O módulo é
r=\sqrt{\bigl(\tfrac{1}{13}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{5}{13}\bigr)^2} =\sqrt{\frac{1+25}{169}} =\frac{\sqrt{26}}{13}.

Passo 5

O argumento \theta satisfaz
\tan\theta =\frac{\frac{5}{13}}{\frac{1}{13}} =5,
e como parte real e imaginária são positivas, \theta=\arctan(5). Assim, a forma polar é
\frac{\sqrt{26}}{13}\bigl(\cos(\arctan(5))+i\sin(\arctan(5))\bigr),
ou, equivalentemente,
\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{13}e^{\,i\arctan(5)}.

Resposta

Forma retangular:
\displaystyle \frac{1}{13}+i\,\frac{5}{13}.
Forma polar:
\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{13}\bigl(\cos(\arctan(5))+i\sin(\arctan(5))\bigr)
ou
\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{13}e^{\,i\arctan(5)}.

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