QUESTÃO4 (2,5 pts.) - Reduza a forma retangular a+i b. Entcontre a forma polar de cada número.
\frac{1}{2+i 3}

Passo 1

O enunciado pede para reduzir em forma retangular e em forma polar o número complexo
\frac{1}{2 + 3\,\mathrm{i}}.
O conteúdo envolvido é divisão de números complexos (multiplicação pelo conjugado) e conversão para forma polar (cálculo de módulo e argumento).

Passo 2

Para dividir por 2+3\,\mathrm{i}, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 2+3\,\mathrm{i}, que é 2-3\,\mathrm{i}:
\frac{1}{2+3\,\mathrm{i}} =\frac{1\cdot(2-3\,\mathrm{i})}{(2+3\,\mathrm{i})(2-3\,\mathrm{i})} =\frac{2-3\,\mathrm{i}}{2^2+(3)^2} =\frac{2-3\,\mathrm{i}}{4+9} =\frac{2-3\,\mathrm{i}}{13}.

Passo 3

Logo, a forma retangular é
\frac{1}{2+3\,\mathrm{i}} =\frac{2}{13}-\frac{3}{13}\,\mathrm{i}.

Passo 4

Para a forma polar, primeiro encontramos o módulo
r = \bigl|\tfrac{2}{13}-\tfrac{3}{13}\,\mathrm{i}\bigr| =\frac{1}{13}\sqrt{2^2+(-3)^2} =\frac{1}{13}\sqrt{4+9} =\frac{\sqrt{13}}{13} =\frac{1}{\sqrt{13}}.

Passo 5

Em seguida, o argumento \theta satisfaz
\tan\theta = \frac{\Im}{\Re} =\frac{-\tfrac{3}{13}}{\tfrac{2}{13}} =-\frac{3}{2} \quad\text{e como \(\Re>0\), \(\Im<0\), estamos no 4º quadrante,}º
\theta = -\arctan\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 6

Portanto, a forma polar fica
\frac{1}{2+3\,\mathrm{i}} =r\bigl(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta\bigr) =\frac{1}{\sqrt{13}}\Bigl[\cos\bigl(-\arctan(\tfrac{3}{2})\bigr) +\mathrm{i}\,\sin\bigl(-\arctan(\tfrac{3}{2})\bigr)\Bigr].

Resposta

Forma retangular:
\frac{1}{2+3\,\mathrm{i}} =\frac{2}{13}-\frac{3}{13}\,\mathrm{i}.
Forma polar:
\frac{1}{2+3\,\mathrm{i}} =\frac{1}{\sqrt{13}}\Bigl[\cos\bigl(-\arctan(\tfrac{3}{2})\bigr) +\mathrm{i}\,\sin\bigl(-\arctan(\tfrac{3}{2})\bigr)\Bigr].

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