QUESTÃO 1 (2,5 pts.) - Mostre que:
\operatorname{Im}\left\{(3 i-1)\left(\frac{1}{3}+i \frac{1}{2}\right)\right\}=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a parte imaginária do produto de dois números complexos. Vamos usar a álgebra de complexos: escrever cada número na forma a+bi, multiplicá-los pelo método distributivo e, em seguida, extrair o coeficiente de i.

Passo 2

Escrevemos
3i-1 = -1 + 3i
e
\frac{1}{3} + i\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{i}{2}.

Passo 3

Aplicamos a distributiva:
(-1 + 3i)\Bigl(\tfrac{1}{3} + \tfrac{i}{2}\Bigr) = -1\cdot\tfrac{1}{3} + (-1)\cdot\tfrac{i}{2} + 3i\cdot\tfrac{1}{3} + 3i\cdot\tfrac{i}{2}.
Agora simplificamos cada termo:
-1\cdot\tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{3},
-1\cdot\tfrac{i}{2} = -\tfrac{i}{2},
3i\cdot\tfrac{1}{3} = i,
3i\cdot\tfrac{i}{2} = \tfrac{3i^2}{2} = \tfrac{3(-1)}{2} = -\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Somando os termos reais e imaginários, obtemos
-\tfrac{1}{3} - \tfrac{3}{2} \;+\;\Bigl(-\tfrac{1}{2} + 1\Bigr)i = -\tfrac{11}{6} + \tfrac{1}{2}\,i.
Portanto a parte imaginária desse produto é
\operatorname{Im}\{(3i-1)(\tfrac{1}{3}+i\tfrac{1}{2})\} = \tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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