Question 8

Considere um capacitor de placas paralelas idêntico ao utilizado no Experimento 2. O multímetro utilizado para medida de capacitância tem uma incerteza de 1,9 \%+8 \mathrm{D}.
a) (3 pontos) Demonstre usando a lei de Gauss a expressão que relaciona a capacitância com a área e a distância entre as placas do capacitor, considerando um capacitor ideal. (3 pontos)
b) ( 5 pontos) Sem o capacitor conectado, os cabos resultaram em uma medida de 0,034 \mathrm{nF}. Ao conectarmos o capacitor, para uma dada distância entre as placas, o valor apresentado pelo aparelho foi de 0,325 \mathrm{nF}. Com base nesses dados, encontre o valor da capacitância do capacitor ( 2 pts ), bem como sua incerteza ( 3 pts).
c) (2 pontos) Ao colocarmos uma folha de papel no interior do capacitor, a leitura do multímetro passou de 0,325 \mathrm{nF} para 0,342 \mathrm{nF}. Explique qualitativamente a causa microscópica dessa variação.
\square \mathbf{0} \square \mathbf{1} \square \mathbf{2} \square \mathbf{3} \square \mathbf{4} \square \mathbf{5} \square \mathbf{6} \square \mathbf{7} \square \mathbf{8} \square \mathbf{9} \square \mathbf{1 0}
Continuação do espaço para a questão 8.

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor de placas paralelas em vácuo, pede em (a) usar a lei de Gauss para obter a expressão de capacitância em função da área A e da distância d entre as placas; em (b) corrigir a leitura do multímetro subtraindo a capacitância dos cabos e calcular a incerteza dada pela especificação “ 1,9\%+8\,\mathrm{D}” (onde cada dígito corresponde a 0,001\,\text{nF}); em (c) explicar qualitativamente, em termos microscópicos, por que inserir uma folha de papel aumenta a capacitância.

Passo 2

Para um capacitor de placas paralelas, considere uma placa com carga +Q e a outra com -Q. Em regime eletrostático entre placas suficientemente grandes, o campo é uniforme e dado por Gauss:
E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}
onde \sigma = Q/A. A diferença de potencial entre as placas é
V = E\,d = \frac{Q}{A\,\varepsilon_0}\,d.
Pela definição de capacitância C = Q/V, vem
C = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\displaystyle \frac{Q\,d}{A\,\varepsilon_0}} = \frac{\varepsilon_0\,A}{d}.

Passo 3

Para a parte (b), o multímetro mediu 0,325\,\text{nF} com o capacitor e, sem capacitor, 0,034\,\text{nF} de cabos. A capacitância real do capacitor é
C = 0,325 - 0,034 = 0,291\;\text{nF}.

Passo 4

Calculemos as incertezas individuais segundo a regra
\Delta C_{\rm leitura} = 1,9\% \times C_{\rm leitura} + 8\,\mathrm{D}.
Como 1\,\mathrm{D}=0,001\,\text{nF},
\Delta C_{\rm med} = 0,019\times0,325 + 8\times0,001 = 0,006175 + 0,008 = 0,014175\;\text{nF},
\Delta C_{\rm cabo} = 0,019\times0,034 + 0,008 = 0,000646 + 0,008 = 0,008646\;\text{nF}.

Passo 5

Como subtraímos duas grandezas independentes, as incertezas somam-se:
\Delta C = \Delta C_{\rm med} + \Delta C_{\rm cabo} = 0,014175 + 0,008646 \approx 0,0228\;\text{nF}\approx0,023\;\text{nF}.

Passo 6

Para (c), ao inserir o papel (um dielétrico), as moléculas polares do papel alinham-se com o campo aplicado, reduzindo o campo interno efetivo. Isso faz diminuir a diferença de potencial para mesma carga, aumentando a capacitância medida.

Resposta

a) C = \frac{\varepsilon_{0}\,A}{d}.
b) C = (0,291 \pm 0,023)\,\text{nF}.
c) A folha de papel se comporta como dielétrico: suas moléculas polares se orientam no campo, reduzem o campo interno e, assim, aumentam a capacitância.

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