Question 8 Em um experimento para estudar a capacitância de um capacitor de placas paralelas, utilizamos um capacitor desse tipo, um multímetro e um par de cabos para fazer a conexão entre as placas do capacitor e o multímetro. Para começar, medimos a capacitância somente dos cabos e constatamos que essa vale 10 \pm 3 \mathrm{pF}. Conectamos então os cabos às placas do capacitor, cuja separação inicial era de d_{\text {inicial }}=1,0 \mathrm{~mm}, e obtivemos um valor de 158 \pm 5 \mathrm{pF}.
a) ( 4 pontos) Nessas condições, qual é o valor da capacitância do capacitor e sua incerteza?
b) (2 pontos) Demonstre, usando a lei de Gauss, que a capacitância de um capacitor de placas paralelas é inversamente proporcional à separação entre as placas.
c) (4 pontos) Estime o valor que seria medido no multímetro (e sua incerteza) ao duplicarmos essa distância de separação, ou seja, d_{\text {final }}=2,0 \mathrm{~mm}. Para esse caso, despreze a incerteza na distância de separação e considere um capacitor de placas paralelas ideal.
Utilize nas respostas finais um algarismo significativo na incerteza, fazendo os arredondamentos que forem necessários.
\square \mathbf{0} \square \mathbf{1} \square \mathbf{2} \square \mathbf{3} \square \mathbf{4} \square \mathbf{5} \square \mathbf{6} \square \mathbf{7} \square \mathbf{8} \square \mathbf{9} \square \mathbf{1 0}
Continuação do espaço para a questão 8.

Passo 1

O enunciado nos dá a capacitância dos cabos medidos isoladamente,
C_{\text{cabos}} = 10 \pm 3\text{ pF},
e a capacitância total (cabos + capacitor de placas paralelas) com separação inicial d_{\rm in}=1{,}0\text{ mm},
C_{\text{tot}} = 158 \pm 5\text{ pF}.
a) Pede-se C do capacitor puro e sua incerteza (subtração de duas grandezas com incertezas).
b) Quer a demonstração, via lei de Gauss, de que C\propto1/d.
c) Ao dobrar d para 2{,}0\text{ mm}, estimar o valor lido no multímetro (cabos + capacitor), desprezando a incerteza em d e assumindo capacitor ideal.

Passo 2

Para achar a capacitância do capacitor, subtraímos
C_{\rm cap} = C_{\rm tot} - C_{\rm cabos} = 158 - 10 = 148\text{ pF}.
A incerteza de C_{\rm cap} é dada por
\Delta C_{\rm cap} = \sqrt{(\Delta C_{\rm tot})^{2} + (\Delta C_{\rm cabos})^{2}} = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}\approx5{,}8\text{ pF}.
Arredondando a incerteza para um algarismo significativo, \Delta C_{\rm cap}=6\text{ pF}, e ajustando C_{\rm cap} para a mesma casa decimal,
C_{\rm cap} = 148 \pm 6\text{ pF}.

Passo 3

Demonstração via lei de Gauss de que C\propto1/d:
Considere placas grandes de área A com cargas +Q e -Q. A densidade de carga é \sigma=Q/A. Usando uma superfície gaussiana em forma de cilindro atravessando a placa positiva,
\Phi = EA = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma A}{\varepsilon_{0}},
logo
E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
A diferença de potencial entre as placas é
V = \int_{0}^{d}E\,\mathrm{d}l = E\,d = \frac{\sigma\,d}{\varepsilon_{0}}.
Como Q=\sigma A e C=Q/V, segue-se
C = \frac{Q}{V} = \frac{\sigma A}{(\sigma d/\varepsilon_{0})} = \frac{\varepsilon_{0}\,A}{d},
o que mostra que C é inversamente proporcional a d.

Passo 4

Ao dobrar a separação para d_{\rm fin}=2{,}0\text{ mm}, temos
C_{\rm cap,fin} = C_{\rm cap,in}\,\frac{d_{\rm in}}{d_{\rm fin}} = 148\text{ pF}\times\frac{1{,}0}{2{,}0} = 74\text{ pF}.
A incerteza escala da mesma forma, \Delta C_{\rm cap,fin}=6\text{ pF}\times\frac12=3\text{ pF}.
O medidor ainda lê cabos + capacitor, então
C_{\rm tot,fin} = C_{\rm cap,fin} + C_{\rm cabos} = 74 + 10 = 84\text{ pF}.
A incerteza combinada é
\Delta C_{\rm tot,fin} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18}\approx4{,}2\text{ pF},
arredondando para um algarismo significativo, \Delta C_{\rm tot,fin}=4\text{ pF}.

Resposta

(a) C_{\rm cap} = 148 \pm 6\text{ pF}.
(b) Usando Gauss, obtém-se
C = \frac{\varepsilon_{0}A}{d}\quad\Rightarrow\quad C\propto\frac1d.
(c) C_{\rm tot} medido para d=2{,}0\text{ mm} é 84 \pm 4\text{ pF}.

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