Question 7 Considere uma esfera dielétrica com densidade volumétrica de carga constante, \rho, e raio R.
a) (3 pontos) Usando a lei de Gauss calcule o campo elétrico em função da distância ao centro da esfera.
b) ( 2 pontos) Ache o potencial elétrico em função da distância ao centro da esfera. Admita que o zero de potencial está infinitamente distante do centro da esfera.
c) (1 pontos) O núcleo de urânio, U, pode ser modelado em primeira aproximação como uma esfera uniformemente carregada. Usando os dados da tabela, determine o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) a uma distância de 6 \times 10^{-15} \mathrm{~m} do centro do núcleo. Compare esse número com os valores observados no laboratório para a ruptura dielétrica do ar. Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}.
U Kr Ba
carga do núcleo \left.\left(\times 10^{-18} \mathrm{C}\right)\right) 15 6 9
massa do núcleo \left.\left(\times 10^{-26} \mathrm{~kg}\right)\right) 37 12 24
raio do núcleo \left(\times 10^{-15} \mathrm{~m}\right) 9 3 6
d) ( 4 pontos) O núcleo de U decai em um núcleo de criptônio, Kr , e um núcleo de bário, Ba (também surgem 3 nêutrons, mas vamos desconsidera-los nesse problema). Esses dois núcleos também podem ser modelados por esferas uniformemente carregadas. Iremos imaginar que logo após o decaimento os núcleos de Kr e Ba têm uma distância de 9 \times 10^{-15} \mathrm{~m} entre seus centros e estão com velocidade zero. Determine a velocidade (em relação ao referencial em que elas estavam inicialmente em repouso) de cada um desses núcleos quando estiverem infinitamente afastados um do outro. Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}.
\square \mathbf{0} \square \mathbf{1} \square \mathbf{2} \square \mathbf{3} \square \mathbf{4} \square \mathbf{5} \square \mathbf{6} \square \mathbf{7} \square \mathbf{8} \square \mathbf{9} \square \mathbf{1 0}
\square
Continuação do espaço para a questão 7.

Passo 1

O enunciado pede, para uma esfera de raio R e carga volumétrica uniforme \rho:
– (a) o campo elétrico E(r) em função da distância r ao centro (Lei de Gauss).
– (b) o potencial elétrico V(r) com V(\infty)=0.
– (c) modelar o núcleo de U como essa esfera (carga total Q=15\times10^{-18}\,\mathrm{C}, R=9\times10^{-15}\,\mathrm{m}) e calcular \mathbf E a r=6\times10^{-15}\,\mathrm{m}, comparando com a rigidez dielétrica do ar ( \approx3\times10^6\,\mathrm{V/m}).
– (d) para a fissão U \toKr+;Ba, com cargas Q_{K}=6\times10^{-18}\,\mathrm{C}, Q_{B}=9\times10^{-18}\,\mathrm{C}, massas m_{K}=12\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, m_{B}=24\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, separação inicial d=9\times10^{-15}\,\mathrm{m}, velocidade inicial zero, determinar as velocidades finais em \infty (usar k=9\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}, conservação de energia e momento).

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss numa esfera de carga total Q e densidade \rho:
\rho=Q\big/( \tfrac{4}{3}\pi R^3).
Para r<R, a carga interior é
Q_{\rm int}=\rho\;\tfrac{4}{3}\pi r^3 =\;Q\,\frac{r^3}{R^3}\,,
então
E(r)\;4\pi r^2 =k^{-1}Q_{\rm int} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=k\,\frac{Q}{R^3}\,r,\quad(r<R).
Para r\ge R, toda a carga está dentro, logo
E(r)=k\,\frac{Q}{r^2}\,,\quad(r\ge R).

Passo 3

Para o potencial, V(\infty)=0 e
V(r)=-\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr'.
Para r\ge R,
V(r) =-\int_{\infty}^{r}k\,\frac{Q}{r'^2}dr' =\;k\,\frac{Q}{r}.
Para r\le R, primeiro V(R)=kQ/R, depois
V(r) =V(R)\;-\int_{R}^{r}k\,\frac{Q}{R^3}r'\,dr' =k\,\frac{Q}{R} -\;k\,\frac{Q}{2R^3}\bigl(r^2-R^2\bigr) =\;k\,\frac{Q}{2R}\Bigl(3-\frac{r^2}{R^2}\Bigr).

Passo 4

No caso do núcleo de U temos Q=15\times10^{-18}\,\mathrm{C}, R=9\times10^{-15}\,\mathrm{m}, e queremos E em r=6\times10^{-15}\,\mathrm{m}<R. Logo
E(r)=k\,\frac{Q}{R^3}\,r =9\times10^9\cdot\frac{15\times10^{-18}}{(9\times10^{-15})^3}\;6\times10^{-15} \approx1{,}11\times10^{21}\;\mathrm{V/m}.
O vetor \mathbf E é radial e dirigido para fora.
Comparado com a rigidez dielétrica do ar ( \sim3\times10^6\,\mathrm{V/m}), esse campo é cerca de 10^{14} vezes maior.

Passo 5

Para a fissão consideramos apenas Kr e Ba, cargas Q_K=6\times10^{-18}\,\mathrm{C}, Q_B=9\times10^{-18}\,\mathrm{C}, massas m_K=12\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, m_B=24\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, distância inicial d=9\times10^{-15}\,\mathrm{m}. A energia potencial inicial é
U =k\,\frac{Q_K\,Q_B}{d} =9\times10^9\;\frac{6\times10^{-18}\cdot9\times10^{-18}}{9\times10^{-15}} \approx5{,}4\times10^{-11}\,\mathrm{J}.
Como o sistema parte com momento total zero, teremos m_Kv_K=m_Bv_B e
\tfrac12m_Kv_K^2+\tfrac12m_Bv_B^2=U.
Resolvendo para v_K e v_B via conservação de momento:
v_B=\frac{m_K}{m_B}\,v_K,
\tfrac12m_Kv_K^2+\tfrac12m_B\Bigl(\frac{m_K}{m_B}v_K\Bigr)^{2}=U \;\Longrightarrow\; v_K =\sqrt{\frac{2U\,m_B}{m_K\,(m_K+m_B)}}, \quad v_B =\frac{m_K}{m_B}\,v_K.

Passo 6

Substituindo U=5{,}4\times10^{-11}\,\mathrm{J}, m_K=12\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, m_B=24\times10^{-26}\,\mathrm{kg}:
v_K\approx\sqrt{\frac{2\cdot5{,}4\times10^{-11}\cdot24\times10^{-26}} {12\times10^{-26}\,(12+24)\times10^{-26}}} \approx2{,}45\times10^{7}\,\mathrm{m/s},
v_B =\frac{12}{24}\,v_K \approx1{,}22\times10^{7}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

(a)
E(r)= \begin{cases} k\,\dfrac{Q}{R^3}\,r\,,&r<R,\\[6pt] k\,\dfrac{Q}{r^2}\,,&r\ge R. \end{cases}
(b)
V(r)= \begin{cases} k\,\dfrac{Q}{2R}\Bigl(3-\dfrac{r^2}{R^2}\Bigr),&r\le R,\\[6pt] k\,\dfrac{Q}{r},&r\ge R. \end{cases}
(c)
\displaystyle E(6\times10^{-15}\,\mathrm m) \approx1{,}11\times10^{21}\,\mathrm{V/m},
radial para fora, cerca de 10^{14} vezes a rigidez dielétrica do ar.
(d)
\displaystyle v_K\approx2{,}45\times10^{7}\,\mathrm{m/s},\quad v_B\approx1{,}22\times10^{7}\,\mathrm{m/s}.]

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