Question 7 Considere uma esfera dielétrica com densidade volumétrica de carga constante, \rho, e raio R.
a) (3 pontos) Usando a lei de Gauss calcule o campo elétrico em função da distância ao centro da esfera.
b) ( 2 pontos) Ache o potencial elétrico em função da distância ao centro da esfera. Admita que o zero de potencial está infinitamente distante do centro da esfera.
c) (1 pontos) O núcleo de urânio, U, pode ser modelado em primeira aproximação como uma esfera uniformemente carregada. Usando os dados da tabela, determine o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) a uma distância de 6 \times 10^{-15} \mathrm{~m} do centro do núcleo. Compare esse número com os valores observados no laboratório para a ruptura dielétrica do ar. Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}.
U
Kr
Ba
carga do núcleo \left.\left(\times 10^{-18} \mathrm{C}\right)\right)
15
6
9
massa do núcleo \left.\left(\times 10^{-26} \mathrm{~kg}\right)\right)
37
12
24
raio do núcleo \left(\times 10^{-15} \mathrm{~m}\right)
9
3
6
d) ( 4 pontos) O núcleo de U decai em um núcleo de criptônio, Kr , e um núcleo de bário, Ba (também surgem 3 nêutrons, mas vamos desconsidera-los nesse problema). Esses dois núcleos também podem ser modelados por esferas uniformemente carregadas. Iremos imaginar que logo após o decaimento os núcleos de Kr e Ba têm uma distância de 9 \times 10^{-15} \mathrm{~m} entre seus centros e estão com velocidade zero. Determine a velocidade (em relação ao referencial em que elas estavam inicialmente em repouso) de cada um desses núcleos quando estiverem infinitamente afastados um do outro. Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}.
O enunciado pede, para uma esfera de raio R e carga volumétrica uniforme \rho:
– (a) o campo elétrico E(r) em função da distância r ao centro (Lei de Gauss).
– (b) o potencial elétrico V(r) com V(\infty)=0.
– (c) modelar o núcleo de U como essa esfera (carga total Q=15\times10^{-18}\,\mathrm{C}, R=9\times10^{-15}\,\mathrm{m}) e calcular \mathbf E a r=6\times10^{-15}\,\mathrm{m}, comparando com a rigidez dielétrica do ar (\approx3\times10^6\,\mathrm{V/m}).
– (d) para a fissão U\toKr+;Ba, com cargas Q_{K}=6\times10^{-18}\,\mathrm{C}, Q_{B}=9\times10^{-18}\,\mathrm{C}, massas m_{K}=12\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, m_{B}=24\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, separação inicial d=9\times10^{-15}\,\mathrm{m}, velocidade inicial zero, determinar as velocidades finais em \infty (usar k=9\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}, conservação de energia e momento).
Passo 2
Aplicando a Lei de Gauss numa esfera de carga total Q e densidade \rho: \rho=Q\big/( \tfrac{4}{3}\pi R^3).
Para r<R, a carga interior é
O vetor \mathbf E é radial e dirigido para fora.
Comparado com a rigidez dielétrica do ar (\sim3\times10^6\,\mathrm{V/m}), esse campo é cerca de 10^{14} vezes maior.
Passo 5
Para a fissão consideramos apenas Kr e Ba, cargas Q_K=6\times10^{-18}\,\mathrm{C}, Q_B=9\times10^{-18}\,\mathrm{C}, massas m_K=12\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, m_B=24\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, distância inicial d=9\times10^{-15}\,\mathrm{m}. A energia potencial inicial é
U =k\,\frac{Q_K\,Q_B}{d} =9\times10^9\;\frac{6\times10^{-18}\cdot9\times10^{-18}}{9\times10^{-15}} \approx5{,}4\times10^{-11}\,\mathrm{J}.
Como o sistema parte com momento total zero, teremos m_Kv_K=m_Bv_B e
\tfrac12m_Kv_K^2+\tfrac12m_Bv_B^2=U.
Resolvendo para v_K e v_B via conservação de momento:
E(r)= \begin{cases} k\,\dfrac{Q}{R^3}\,r\,,&r<R,\\[6pt] k\,\dfrac{Q}{r^2}\,,&r\ge R. \end{cases}
(b)
V(r)= \begin{cases} k\,\dfrac{Q}{2R}\Bigl(3-\dfrac{r^2}{R^2}\Bigr),&r\le R,\\[6pt] k\,\dfrac{Q}{r},&r\ge R. \end{cases}
(c) \displaystyle E(6\times10^{-15}\,\mathrm m)
\approx1{,}11\times10^{21}\,\mathrm{V/m},
radial para fora, cerca de 10^{14} vezes a rigidez dielétrica do ar.
(d) \displaystyle v_K\approx2{,}45\times10^{7}\,\mathrm{m/s},\quad
v_B\approx1{,}22\times10^{7}\,\mathrm{m/s}.]