(a) Defina um ponto extremo para o conjunto .
(b) Encontre todos os pontos extremos de .
(c) Represente como uma combinação convexa dos pontos extremos de .
Passo 1
O enunciado define
(a) pede a definição de ponto extremo de um conjunto convexo,
(b) pede encontrar todos os pontos extremos de ,
(c) pede expressar o ponto como combinação convexa desses extremos.
Passo 2
Um ponto extremo de um conjunto convexo é um ponto que não pode ser escrito como combinação convexa de dois outros pontos distintos de . Ou seja, se existem e tais que
então necessariamente ou .
Passo 3
Reescrevemos as desigualdades isolando :
e
Para que é preciso . Logo é o polígono convexo delimitado pelas retas
Passo 4
Encontramos as interseções das retas:
I) com dá
II) com dá
III) com :
Passo 5
Verificamos que , e satisfazem todas as desigualdades e são vértices do polígono convexo .
Assim, os pontos extremos de são
Passo 6
Para escrever
com , , montamos o sistema:
Da segunda equação vem obtemos . Na primeira:
Logo
Resposta
(a) Um ponto extremo de um conjunto convexo é aquele que não pode ser escrito como combinação convexa de outros dois pontos distintos do conjunto.
(b) Os pontos extremos são (-3,-6), (-3,0) e (6,3).
(c)