Question 4. (1,0) Seja
X=(x1, x2): x1-x2 <= 3,-x1+3 x2 <= 3, x1 >=-3
(a) Defina um ponto extremo para o conjunto X.
(b) Encontre todos os pontos extremos de X.
(c) Represente x=(1,0) como uma combinação convexa dos pontos extremos de X.

Passo 1

O enunciado define
X = (x1,x2)mid x1 - x2 <= 3,;-x1 + 3x2 <= 3,;x1 >= -3
(a) pede a definição de ponto extremo de um conjunto convexo,
(b) pede encontrar todos os pontos extremos de X,
(c) pede expressar o ponto x=(1,0) como combinação convexa desses extremos.

Passo 2

Um ponto extremo de um conjunto convexo CsubsetR^n é um ponto xin C que não pode ser escrito como combinação convexa de dois outros pontos distintos de C. Ou seja, se existem y,zin C e lambdain(0,1) tais que
x = lambda y + (1-lambda)z,
então necessariamente y = x ou z = x.

Passo 3

Reescrevemos as desigualdades isolando x2:
x1 - x2 <= 3 Long<=ftrightarrow x2 >= x1 - 3,
-x1 + 3x2 <= 3 Long<=ftrightarrow x2 <= x1 + 33,
e
x1 >= -3
Para que x1 - 3 <= tfracx1+33 é preciso x1<=6. Logo X é o polígono convexo delimitado pelas retas
x1 = -3, x1 = 6, x2 = x1 - 3, x2 = x1+33

Passo 4

Encontramos as interseções das retas:
I) x1=-3 com x2 = x1 - 3
(-3,-6)
II) x1=-3 com x2 = tfracx1+33
(-3,0)
III) x2 = x1 - 3 com x2 = tfracx1+33:
x1 - 3 = x1+33 Longrightarrow 2x1 = 12 Longrightarrow (x1,x2) = (6,3)

Passo 5

Verificamos que (-3,-6), (-3,0) e (6,3) satisfazem todas as desigualdades e são vértices do polígono convexo X.
Assim, os pontos extremos de X são
(-3,-6),(-3,0),(6,3)

Passo 6

Para escrever
com , , montamos o sistema:
Da segunda equação vem obtemos . Na primeira:
Logo

Resposta

(a) Um ponto extremo de um conjunto convexo é aquele que não pode ser escrito como combinação convexa de outros dois pontos distintos do conjunto.
(b) Os pontos extremos são (-3,-6), (-3,0) e (6,3).
(c)
(1,0) = 29(-3,-6) + 13(-3,0) + 49(6,3)

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