Question 5. (2.0)
(a) Defina um conjunto convexo X subseteq R^n.
(b) Mostre que o hiperplano H^+=x in R+^n: p^T x <= k é um conjunto convexo.

Passo 1

O enunciado pede:
(a) dar a definição de conjunto convexo em R^n;
(b) mostrar que
H^+ = ,xinR^n+ : p^Tx <= k
é convexo.
Para isso vamos usar a definição de convexidade e a propriedade de interseção de conjuntos convexos.

Passo 2

Um conjunto XsubseteqR^n diz-se convexo se, para quaisquer x,yin X e todo lambdain[0,1], valer
z = lambda x + (1-lambda)y ;in X
Em outras palavras, todo segmento de reta que une dois pontos de X fica inteiramente em X.

Passo 3

Mostramos primeiro que o semiespaço
S = ,xinR^n : p^Tx <= k
é convexo. De fato, tomemos x,yin S e lambdain[0,1]. Então
p^Tx <= k e p^Ty <= k
implicam
p^T(lambda x + (1-lambda)y) = lambda,p^Tx + (1-lambda),p^Ty <= lambda k + (1-lambda)k = k
Logo lambda x+(1-lambda)yin S, provando a convexidade de S.

Passo 4

Em seguida, o cone positivo
R^n+ = ,xinR^n : xi >= 0,;i=1,dots,n
é convexo porque, se xi>=0 e yi>=0, então para lambdain[0,1]
(lambda x + (1-lambda)y)i = lambda xi + (1-lambda)yi >= 0
Assim qualquer combinação convexa de vetores em R^n+ permanece em R^n+.

Passo 5

Finalmente, note que
H^+ = R^n+;cap;S
Como interseção de dois conjuntos convexos ( R^n+ e S), o conjunto H^+ é convexa.

Resposta

O conjunto H^+=xinR^n+:p^Tx<= k é convexo.

Exercícios relacionados