Question 5. (2.0)
(a) Defina um conjunto convexo
.
(b) Mostre que o hiperplano
é um conjunto convexo.
(a) Defina um conjunto convexo
(b) Mostre que o hiperplano
Passo 1
O enunciado pede:
(a) dar a definição de conjunto convexo em ;
(b) mostrar que
(a) dar a definição de conjunto convexo em
(b) mostrar que
é convexo.
Para isso vamos usar a definição de convexidade e a propriedade de interseção de conjuntos convexos.
Para isso vamos usar a definição de convexidade e a propriedade de interseção de conjuntos convexos.
Passo 2
Um conjunto
diz-se convexo se, para quaisquer
e todo
, valer
Em outras palavras, todo segmento de reta que une dois pontos de
fica inteiramente em
.
Passo 3
Mostramos primeiro que o semiespaço
é convexo. De fato, tomemos
e
. Então
implicam
Logo
, provando a convexidade de
.
Passo 4
Em seguida, o cone positivo
é convexo porque, se
e
, então para
Assim qualquer combinação convexa de vetores em
permanece em
.
Passo 5
Finalmente, note que
Como interseção de dois conjuntos convexos (
e
), o conjunto
é convexa.
Resposta
O conjunto
é convexo.