Questões conceituais:
Quando se assume a hipótese de que uma aleta é “muito longa”, o que ela signifi a respeito da condição de contorno na extremidade da aleta? ( 0,5 )

Passo 1

O enunciado pergunta, de forma conceitual: quando assumimos que uma aleta é “muito longa”, o que isso significa para a condição de contorno na extremidade (ponta) da aleta?
Informações dadas implicitamente: existe uma aleta com comprimento L, há uma temperatura ambiente \,T_\infty, e a aleta tem uma temperatura ao longo do eixo T(x) com x=0 na base e x=L na ponta. O que queremos explicar é qual condição de contorno usamos em x=L quando dizemos “muito longa”.

Passo 2

Definindo variáveis e escrevendo a equação de interesse (sem resolver ainda).
Defina a diferença de temperatura em relação ao ambiente como
\theta(x)=T(x)-T_\infty.
Para uma aleta unidimensional, em regime permanente, com propriedades constantes e perda de calor por convecção ao longo da lateral, a equação diferencial que descreve o perfil de temperatura é
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
onde
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Aqui: h é o coeficiente de convecção (W/m^2·K), P é o perímetro da seção transversal da aleta (m), k é a condutividade térmica do material da aleta (W/m·K) e A_c é a área da seção transversal (m^2).
Explicando fisicamente: o termo \frac{d^2\theta}{dx^2} vem da condução no sentido do eixo da aleta e o termo m^2\theta representa a perda por convecção à superfície lateral.

Passo 3

Quais são as condições de contorno usuais para a aleta “normal” (finita)?
  • Na base ( x=0) normalmente temos temperatura conhecida: \theta(0)=\theta_b onde \theta_b=T_b-T_\infty é o excesso de temperatura na base.
  • Na ponta ( x=L) existem várias possibilidades reais:
    1. ponta perfeitamente isolada (nenhuma perda pela ponta): \displaystyle \left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=0.
    2. convecção na ponta com área de extremidade A_{\text{end}}: \displaystyle -kA_c\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=hA_{\text{end}}\,\theta(L).
    3. ponta mantida à temperatura ambiente (caso limite): \theta(L)=0.
      Cada uma dessas é um modelo conforme a situação física.

Passo 4

O que significa “muito longa” em termos matemáticos e físicos?
Dizer que a aleta é “muito longa” significa que, antes da ponta, a temperatura já decaiu praticamente até a temperatura ambiente. Matematicamente, isso corresponde a substituir a condição na ponta por uma condição no infinito:
\theta(x)\to 0\quad\text{quando}\quad x\to\infty,
ou seja
\theta(\infty)=0.
Físico-intuitivamente: a aleta é longa o suficiente para que a contribuição da ponta ao balanço térmico seja desprezível — a temperatura já se aproximou tanto de T_\infty que a ponta não muda o fluxo total de calor.

Passo 5

Como isso aparece na solução da equação diferencial (passo a passo de cálculo simples para ver o efeito)?
A equação homogênea
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0
tem solução geral
\theta(x)=C_1 e^{mx}+C_2 e^{-mx}.
Para exigir que \theta(x) não exploda quando x\to\infty (condição física), precisamos de C_1=0. Então para a aleta “infinita” obtemos
\theta(x)=C_2 e^{-mx}.
Usando \theta(0)=\theta_b temos C_2=\theta_b e portanto
\theta(x)=\theta_b\,e^{-mx}.
Isso mostra explicitamente que a temperatura decai exponencialmente e que, quando assumimos a aleta “muito longa”, o comportamento imposto na ponta é \theta\to0 (isto é, T\to T_\infty).

Passo 6

Regra prática para decidir quando posso usar essa condição simplificada.
A escala de decaimento é 1/m. Portanto a aleta é “muito longa” quando
L \gg \frac{1}{m}\quad\text{ou seja}\quad mL \gg 1.
Uma regra prática comum: se mL\gtrsim 3 então \theta(L)/\theta_b = e^{-mL}\lesssim e^{-3}\approx 0{,}05, ou seja, a diferença de temperatura na ponta é menor que cerca de 5\% da diferença na base — normalmente já aceitável para aproximar a ponta como estando à temperatura ambiente.

Passo 7

Resumo didático, linguagem de prova (o que escrever como resposta curta):
  • Ao assumir “aleta muito longa” você substitui a condição de contorno na ponta por
\theta(\infty)=0\quad\text{ou}\quad T(x)\to T_\infty\\ \text{quando}\\ x\to\infty.
  • Em problemas práticos com comprimento finito, isso é aproximado impondo \theta(L)=0 (ou simplesmente aceitar a solução do tipo \theta=\theta_b e^{-mx}), desde que mL\gg1.
    Dica amiga: se na prova aparece uma aleta “muito longa”, escreva explicitamente a condição \theta(\infty)=0 e mostre que a solução decai exponencialmente; se precisar justificar numericamente, calcule mL e verifique que é grande.

Resposta

A condição de contorno na extremidade passa a ser \displaystyle \theta(\infty)=0 (ou seja \displaystyle T(x)\to T_\infty quando x\to\infty), o que na prática é aproximado por \theta(L)=0 quando mL\gg1 (onde m=\sqrt{hP/(kA_c)}).

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