24.1b Calcule a frequiéncia de colisão, z, e a densidade de frequiência de colisão, Z, no monóxido de carbono, sendo R=180 \mathrm{pm}, a 25^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa . Qual o aumento percentual desses parâmetros se a temperatura subir de 10 K , a volume constante?

Passo 1

O enunciado pede a frequência de colisão por molécula, z, e a densidade de frequência de colisão, Z, para o monóxido de carbono \mathrm{CO} nas condições iniciais de T_1 = 25\\ ^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K} e P = 100\\ \mathrm{kPa}.
Conteúdo: teoria cinético‐molecular de gases, uso da seção de choque e da velocidade média relativística. Precisamos de
– raio molecular R = 180\\ \mathrm{pm} = 1{,}80\times10^{-10}\\ \mathrm{m} (logo diâmetro d=2R);
– massa de uma molécula m = \dfrac{M}{N_A}, com M_{\mathrm{CO}} = 28{,}01\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol};
– velocidade média de Maxwell–Boltzmann \langle v\rangle;
– densidade numérica N/V.

Passo 2

Calcular a seção de choque, a densidade molecular, a velocidade média e daí z e Z.
Seção de choque (área de colisão)
\sigma = \pi d^2 = \pi\bigl(2R\bigr)^2 = \pi\bigl(2\times1{,}80\times10^{-10}\bigr)^2 =4{,}07\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2}.
Densidade numérica
\frac{N}{V} = \frac{P}{k\,T_1} = \frac{100\times10^{3}}{1{,}38\times10^{-23}\times298{,}15} \approx2{,}43\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Massa de uma molécula
m = \frac{28{,}01\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}} \approx4{,}65\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Velocidade média molecular
\langle v\rangle =\sqrt{\frac{8\,k\,T_1}{\pi\,m}} \approx\sqrt{\frac{8\times1{,}38\times10^{-23}\times298{,}15} {\pi\times4{,}65\times10^{-26}}} \approx4,75\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade média relativa entre duas moléculas idênticas
\langle v_{\rm rel}\rangle = \sqrt{2}\,\langle v\rangle \approx1{,}414\times4,75\times10^{2} \approx6,72\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.
Frequência de colisão por molécula
z = \sigma\,\frac{N}{V}\,\langle v_{\rm rel}\rangle \approx4,07\times10^{-19}\times2,43\times10^{25}\times6,72\times10^{2} \approx6,65\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Densidade de frequência de colisão (número de colisões por volume e por tempo), lembrando o fator 1/2 para não contar colisões duas vezes:
Z = \tfrac12\,\frac{N}{V}\,z \approx\tfrac12\times2,43\times10^{25}\times6,65\times10^{9} \approx8,09\times10^{34}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}.

Passo 3

Agora, se mantivermos o volume constante e aumentarmos a temperatura de \Delta T=10\\ \mathrm{K}, temos T_2=308{,}15\\ \mathrm{K}. Como N/V e \sigma são constantes em volume fixo, segue
z\propto\langle v_{\rm rel}\rangle\propto\sqrt{T}, \quad Z\propto z.
Logo, a razão
\frac{z_2}{z_1} =\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} =\sqrt{\frac{308{,}15}{298{,}15}} \approx1{,}01666,
o mesmo valendo para Z. Portanto o aumento percentual é
\bigl(1{,}01666 - 1\bigr)\times100\%\approx1{,}67\%.

Resposta

z \approx6{,}65\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-1}}
Z \approx8{,}09\times10^{34}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}
Aumento percentual de z e Z \approx1{,}67\%.

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