21.4 Calcule a razão entre as condutividades térmicas do hidrogênio gasoso a 300 K ea 10 K . Tenha cuidado e analise os modos de movimento termicamente ativos nas duas temperaturas.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre as condutividades térmicas do hidrogênio gasoso em duas temperaturas, T_1 = 300\\ \mathrm{K} e T_2 = 10\\ \mathrm{K}. O conteúdo necessário é a teoria cinética dos gases:
– Identificar os graus de liberdade ativa em cada temperatura;
– Usar a fórmula da condutividade térmica de um gás ideal monofásico.

Passo 2

Em um gás diatômico como o \mathrm{H_2}, cada molécula tem os modos de movimento
– translacional (sempre ativo, f_{\rm tr}=3);
– rotacional (nível fundamental de rotação em \displaystyle E_1/k\approx170\\ \mathrm{K});
– vibracional (primeiro nível vibracional em \sim6000\\ \mathrm{K}, sempre congelado aqui).
A T_1=300\\ \mathrm{K} as rotações estão ativas, de modo que f_1 = 3 + 2 = 5.
A T_2=10\\ \mathrm{K} as rotações estão congeladas, restando apenas f_2 = 3.

Passo 3

Pela teoria cinética, a condutividade térmica de um gás diluído é
\kappa \;=\;\tfrac{1}{3}\,c_v\,\bar v\,\ell,
onde c_v é a capacidade calorífica volumétrica (proporcional a n\frac{f}{2}k), \bar v\propto \sqrt{T} é a velocidade média e \ell\propto 1/n o caminho livre médio. A uma mesma pressão p, n\propto1/T, de modo que
\kappa \;\propto\;\Bigl(n\,\tfrac{f}{2}k\Bigr)\,\sqrt{T}\,\frac{1}{n} \;=\;\frac{f}{2}\,k\,\sqrt{T} \;\propto\;f\,\sqrt{T}.

Passo 4

Então a razão entre as condutividades em 300\\ \mathrm{K} e 10\\ \mathrm{K} vale
\frac{\kappa(300)}{\kappa(10)} \;=\;\frac{f_1\,\sqrt{T_1}}{f_2\,\sqrt{T_2}} \;=\;\frac{5\,\sqrt{300}}{3\,\sqrt{10}} \;=\;\frac{5\,(10\sqrt{3})}{3\,( \sqrt{10})} \;=\;\frac{50\sqrt{3}}{3\sqrt{10}} \approx 9{,}1.

Resposta

A razão entre as condutividades térmicas é aproximadamente 9{,}1.

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