13.10 Em quais condições as velocidades médias e as velocidades instantâneas são essencialmente iguais?

Passo 1

O enunciado pergunta em que situações a velocidade média de um movimento e a velocidade instantânea se aproximam tanto que podem ser consideradas iguais. O conteúdo é de cálculo de derivadas aplicado a cinemática, onde usamos a definição de velocidade média e o conceito de limite para obter a velocidade instantânea.

Passo 2

Definimos a velocidade média em um intervalo de tempo \Delta t pela razão entre a variação do espaço \Delta s e \Delta t:
\bar v = \frac{\Delta s}{\Delta t}.
Isto é uma média ao longo de todo o intervalo, sem captar variações internas de velocidade.

Passo 3

A velocidade instantânea em um instante t é obtida como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero:
v(t) \;=\;\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t} \;=\;\frac{ds}{dt}.
Isto corresponde à derivada da função posição s(t), captando a taxa de variação em um único instante.

Passo 4

As duas velocidades ficam essencialmente iguais sempre que a variação de velocidade dentro do intervalo \Delta t for desprezível. Em particular:
  1. Quando o intervalo de tempo \Delta t for muito pequeno, de modo que a aceleração não tenha tempo de alterar a velocidade de forma relevante.
  2. Quando o movimento for uniformemente retilíneo ( \text{aceleração}=0çã), pois aí a velocidade é constante em qualquer intervalo.
Nessas condições a velocidade média \bar v coincide, dentro de qualquer grau de precisão desejado, com a velocidade instantânea v(t).

Resposta

Velocidades médias e instantâneas são essencialmente iguais quando o intervalo de tempo considerado é pequeno a ponto de a aceleração ser desprezível, ou em movimentos de velocidade constante (aceleração nula).

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