13.10 Em quais condições as velocidades médias e as velocidades instantâneas são essencialmente iguais?
Passo 1
O enunciado pergunta em que situações a velocidade média de um movimento e a velocidade instantânea se aproximam tanto que podem ser consideradas iguais. O conteúdo é de cálculo de derivadas aplicado a cinemática, onde usamos a definição de velocidade média e o conceito de limite para obter a velocidade instantânea.
Passo 2
Definimos a velocidade média em um intervalo de tempo
pela razão entre a variação do espaço
e
:
Isto é uma média ao longo de todo o intervalo, sem captar variações internas de velocidade.
Passo 3
A velocidade instantânea em um instante
é obtida como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero:
Isto corresponde à derivada da função posição
, captando a taxa de variação em um único instante.
Passo 4
As duas velocidades ficam essencialmente iguais sempre que a variação de velocidade dentro do intervalo
for desprezível. Em particular:
- Quando o intervalo de tempo
for muito pequeno, de modo que a aceleração não tenha tempo de alterar a velocidade de forma relevante. - Quando o movimento for uniformemente retilíneo (
), pois aí a velocidade é constante em qualquer intervalo.
Nessas condições a velocidade média
coincide, dentro de qualquer grau de precisão desejado, com a velocidade instantânea
.
Resposta
Velocidades médias e instantâneas são essencialmente iguais quando o intervalo de tempo considerado é pequeno a ponto de a aceleração ser desprezível, ou em movimentos de velocidade constante (aceleração nula).