A equação de Debye-Hückel estendida, Equação 8-6, em função da temperatura é:
\log \gamma=\frac{\left(-1,825 \times 10^{6}\right)(\varepsilon T)^{-3 / 2} z^{2} \sqrt{\mu}}{1+\alpha \sqrt{\mu} /(2,00 \sqrt{\varepsilon T})}
em que e é a constante dielétrica* (adimensional) da água, T é a temperatura (K), z é a carga do íon de interesse, \mu é a força iônica da solução (número de moles/L) e \alpha é o tamanho do íon em picômetros. A dependência de e em relação à temperatura é dada por
\varepsilon=79,755 \mathrm{e}^{\left(-4,6 \times 10^{-3}\right)(T-293,15)}
Calcule o coeficiente de atividade do \mathrm{SO}_{4}{ }^{2-} a 50,00^{\circ} \mathrm{C}, quando \mu=0,100 \mathrm{M}. Compare o valor calculado com o da Tabela 8-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o coeficiente de atividade \gamma do íon \mathrm{SO}_4^{2-} em T=50{,}00^\circ\mathrm{C} 323{,}15,K) e força iônica \mu=0{,}100,M, usando a equação de Debye–Hückel estendida
\log\gamma=\frac{\bigl(-1,825\times10^{6}\bigr)\,(\varepsilon T)^{-3/2}\,z^{2}\,\sqrt{\mu}}{1+\dfrac{\alpha\sqrt{\mu}}{2{,}00\sqrt{\varepsilon T}}}
e a dependência de \varepsilon com T:
\varepsilon=79{,}755\,e^{-4{,}6\times10^{-3}(T-293{,}15)}.
Aqui z=-2 (logo z^2=4, \alpha é o parâmetro de tamanho do \mathrm{SO}_4^{2-} (em pm), que tomamos como \alpha=450,pm (valor típico retirado da Tabela 8-1).

Passo 2

Calcular \varepsilon a T=323{,}15,K:
\varepsilon=79{,}755\exp\bigl[-4{,}6\times10^{-3}\,(323{,}15-293{,}15)\bigr] =79{,}755\exp(-0{,}138) \approx79{,}755\times0{,}871 \approx69{,}5.

Passo 3

Calcular o fator (\varepsilon T)^{-3/2}:
\varepsilon T=69{,}5\times323{,}15\approx2{,}246\times10^{4},\quad (\varepsilon T)^{3/2}=(2{,}246\times10^{4})^{1{,}5}\approx3{,}366\times10^{6},
(\varepsilon T)^{-3/2}\approx2{,}97\times10^{-7}.

Passo 4

Montar e calcular o numerador
N=\bigl(-1{,}825\times10^{6}\bigr)\times2{,}97\times10^{-7}\times z^2\times\sqrt{\mu} =-1{,}825\times10^{6}\times2{,}97\times10^{-7}\times4\times0{,}3162 \approx-0{,}686.

Passo 5

Montar e calcular o denominador
D=1+\frac{\alpha\sqrt{\mu}}{2{,}00\sqrt{\varepsilon T}} =1+\frac{450\times0{,}3162}{2{,}00\times\sqrt{2{,}246\times10^{4}}} =1+\frac{142{,}3}{2\times149{,}9} \approx1+0{,}475 =1{,}475.

Passo 6

Obter \log\gamma e \gamma:
\log\gamma=\frac{N}{D}=\frac{-0{,}686}{1{,}475}\approx-0{,}465, \quad \gamma=10^{-0{,}465}\approx0{,}34.

Passo 7

Comparando com a Tabela 8-1 (onde para \mu=0{,}100 M e 25^\circC encontra-se \gamma\approx0{,}75), vemos que
\gamma(50^\circ\mathrm{C})\approx0{,}34\quad\text{é bem menor do que}\quad \gamma(25^\circ\mathrm{C})\approx0{,}75.é
Isso reflete a diminuição de \varepsilon (portanto aumento das interações iônicas) ao elevar a temperatura.

Resposta

\displaystyle \gamma_{\mathrm{SO}_4^{2-}}\approx0{,}34, bem abaixo do valor \approx0{,}75 da Tabela 8-1.

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