18.2 Uma molécula de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} está alinhada por um campo elétrico externo de intensidade de 1,0 \mathrm{kV} \mathrm{m}^{-1} e dela se aproxima, lentamente, um átomo de Ar ( \alpha^{\prime}=1,66 \times 10^{-24} \mathrm{~cm}^{3} ). A aproximação é lateral. A que separação é preferível, quanto à energia, que a molécula gire e fique com o seu momento de dipolo apontado diretamente para o átomo de Ar ?

Passo 1

O enunciado diz que uma molécula de H_{2}O, com momento de dipolo permanente \mu, está alinhada num campo externo de intensidade
E_0 = 1{,}0\times10^3\;\text{V/m}
e que se aproxima lateralmente dela um átomo de Ar, de polarizabilidade
\alpha' = 1{,}66\times10^{-24}\;\text{cm}^3 = 1{,}66\times10^{-30}\;\text{m}^3.
Pergunta-se a que distância r a rotação de 90^\circ do dipolo – de alinhado com E_0 para apontar ao Ar – se torna energeticamente favorável.

Passo 2

Calculemos o custo de energia para girar o dipolo contra o campo externo. A energia de um dipolo em um campo é
U = -\mu\,E_0\cos\theta.
Inicialmente \theta_i=0\Rightarrow U_i=-\mu E_0. Após rotação de 90^\circ, \theta_f=90^\circ\Rightarrow U_f=0.
Logo, o aumento de energia é
\Delta U_{\rm ext} = U_f - U_i = 0 - (-\mu E_0) = \mu\,E_0.

Passo 3

Agora a energia de interação entre o dipolo permanente e o átomo polarizável:
  1. O campo de um dipolo a uma distância r no plano equatorial vale
E_{\rm eq} = \frac{\mu}{4\pi\varepsilon_0\,r^3},
e no eixo
E_{\rm ax} = \frac{2\,\mu}{4\pi\varepsilon_0\,r^3}.
  1. A energia de indução num átomo de polarizabilidade \alpha é
U = -\tfrac12\,\alpha\,E^2.
Portanto
U_{\rm eq} = -\frac{\alpha\,\mu^2}{2\,(4\pi\varepsilon_0)^2\,r^6}, \quad U_{\rm ax} = -\frac{2\,\alpha\,\mu^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2\,r^6}.
A diferença de energia ao passar do caso equatorial para o axial é
\Delta U_{\rm id} = U_{\rm ax} - U_{\rm eq} = -\frac{3\,\alpha\,\mu^2}{2\,(4\pi\varepsilon_0)^2\,r^6}.

Passo 4

Para que a rotação seja favorável, o ganho em interação (valor absoluto de \Delta U_{\rm id}) deve igualar o custo \Delta U_{\rm ext}:
\mu\,E_0 = \frac{3\,\alpha\,\mu^2}{2\,(4\pi\varepsilon_0)^2\,r^6} \quad\Longrightarrow\quad r^6 = \frac{3\,\alpha\,\mu}{2\,(4\pi\varepsilon_0)^2\,E_0}.
Usando \alpha=1{,}66\times10^{-30} m^{3}, o momento de dipolo da água \mu=1,85 D =6,17\times10^{-30} C\cdot m, \varepsilon_0=8,85\times10^{-12} F/m e E_0=1,0\times10^3 V/m, vem
r^6 \approx 1,24\times10^{-42} \quad\Longrightarrow\quad r \approx 1,0\times10^{-7}\;\text{m}.

Resposta

r \approx 1,0\times10^{-7},m

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