Mostre que uma rede de difração com 10^{3} ranhuras/cm fornece uma dispersão de 5,8^{\circ} por mm de comprimento de onda se n=1 e \varphi=10^{\circ} na Equação 20-4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma rede de difração com 10^3 ranhuras/cm fornece uma dispersão de 5,8^\circ por mm de comprimento de onda, considerando ordem n=1 e ângulo de difração \varphi=10^\circ. O conteúdo envolve a equação de redes de difração
d\sin\varphi=n\lambda
e o conceito de dispersão angular \frac{d\varphi}{d\lambda}.

Passo 2

Partimos da equação de rede
d\sin\varphi=n\lambda.
Diferenciando ambos os lados em relação a \lambda, temos
d\cos\varphi\,\frac{d\varphi}{d\lambda}=n \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\varphi}{d\lambda}=\frac{n}{d\cos\varphi}.

Passo 3

A constante de rede d é o inverso do número de ranhuras por unidade de comprimento. Com 10^3 ranhuras/cm, cada ranhura ocupa 1/10^3 cm, isto é
d=10^{-3}\,\text{cm}=10^{-5}\,\text{m}=10\,\mu\text{m}.

Passo 4

Substituindo n=1, d=10^{-5}\,\text{m} e \varphi=10^\circ em \displaystyle \frac{d\varphi}{d\lambda}=\frac{1}{d\cos\varphi},
e usando \cos10^\circ\approx0,9848, obtemos
\frac{d\varphi}{d\lambda} =\frac{1}{10^{-5}\times0,9848} \approx1,0156\times10^{5}\,\text{rad/m}.

Passo 5

Para expressar em rad por mm de comprimento de onda dividimos por 10^3, ficando
0,10156\,\text{rad/mm}.
Convertendo para graus com 1\,\text{rad}=180/\pi, resulta
0,10156\times\frac{180}{\pi}\approx5,82^\circ/\text{mm}.

Resposta

A dispersão é de aproximadamente 5,8^\circ por mm de comprimento de onda.

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