• 13.34 Se a E_{a} para uma reação é 198 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} e k=5,00 \times 10^{-6} \mathrm{~g}^{-1} a 25^{\circ} \mathrm{C}, em que temperatura k será igual a 5,00 \times 10^{-5} \mathrm{~g}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado dá a energia de ativação \displaystyle E_{a}=198\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} e a constante de velocidade \displaystyle k_{1}=5{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{g^{-1}} a \displaystyle T_{1}=25^\circ\mathrm C (isto é, \displaystyle298\\ \mathrm K). Pede-se a temperatura \displaystyle T_{2} para a qual \displaystyle k_{2}=5{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{g^{-1}}. Vamos usar a equação de Arrhenius para relacionar essas constantes.

Passo 2

A equação de Arrhenius é
k = A \exp\Bigl(-\frac{E_{a}}{R\,T}\Bigr)
onde \displaystyle A é o pré-exponencial e R a constante dos gases ideais. Tomando a razão entre \displaystyle k_{2} e \displaystyle k_{1} e aplicando logaritmo natural, obtemos
\ln\frac{k_{2}}{k_{1}} = -\frac{E_{a}}{R}\Bigl(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\Bigr).

Passo 3

Isolando \displaystyle 1/T_{2}, vem
\frac{1}{T_{2}} = \frac{1}{T_{1}} - \frac{R}{E_{a}}\, \ln\frac{k_{2}}{k_{1}}.
Aqui, lembre-se de converter \displaystyle E_{a} para joules por mol:
\displaystyle E_{a}=198\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=198000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
E use R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 4

Calculemos cada termo:
\ln\frac{k_{2}}{k_{1}} = \ln\!10 \approx 2{,}302585,
\frac{R}{E_{a}} = \frac{8{,}3145}{198000} \approx 4{,}1997\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{R}{E_{a}}\, \ln\frac{k_{2}}{k_{1}} \approx 4{,}1997\times10^{-5}\times2{,}302585 \approx 9{,}6678\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Também
\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{298\\ \mathrm K} \approx 0{,}0033557\\ \mathrm{K^{-1}}.
Então
\frac{1}{T_{2}} \approx 0{,}0033557 - 0{,}000096678 = 0{,}0032590\\ \mathrm{K^{-1}},
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T_{2} \approx \frac{1}{0{,}0032590} \approx 306{,}9\\ \mathrm K.

Passo 5

Convertendo para graus Celsius:
T_{2}({}^\circ\mathrm C) =306{,}9 - 273{,}15 \approx33{,}8^\circ\mathrm C,
isto é, aproximadamente \displaystyle34^\circ\mathrm C.

Resposta

\displaystyle T_{2}\approx307\\ \mathrm K (ou cerca de 34^\circ\mathrm C).

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