21.11 Quais são as velocidades de migração dos ions \mathrm{Li}^{+}, \mathrm{Na}^{+}e \mathrm{K}^{+}em água, quando há uma diferença de potencial de 10 V aplicada aos eletrodos de uma célula de condutividade com intervalo entre si de 1,00 \mathrm{~cm} ? Quanto tempo um ion leva para ir de um eletrodo ao outro? Na medição de condutividade é normal usar corrente alternada. Quais os deslocamentos dos fons mencionados, medidos em (a) centímetros e (b) diâmetros do solvente (cerca de 300 pm), durante meio ciclo do potencial aplicado com a frequência de 1,0 \mathrm{kHz} ?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de migração em água dos íons \mathrm{Li}^+, \mathrm{Na}^+ e \mathrm{K}^+ sob um campo elétrico gerado por 10,V aplicados em eletrodos separados por 1{,}00,cm. Precisamos usar o conceito de mobilidade iônica e a relação entre velocidade de deriva, mobilidade e campo elétrico. Em seguida calculamos o tempo para cruzar 1,cm e, para corrente alternada de 1{,}0,kHz, o deslocamento em meio ciclo, em cm e em número de diâmetros de solvente ( \approx300,pm).

Passo 2

A mobilidade iônica \mu (em c m^{2} V^{-}¹  s^{-}¹) está relacionada à condutividade molar infinita \lambda_0 (em S c m^{2} mo l^{-}¹) por
\mu \;=\;\frac{\lambda_0}{F},
onde F=9{,}6485\times10^4,C mo l^{-}¹ é a constante de Faraday. O campo elétrico entre os eletrodos é
E \;=\;\frac{\Delta V}{d} \;=\;\frac{10\;\mathrm{V}}{1{,}00\;\mathrm{cm}} \;=\;10\;\mathrm{V\,cm^{-1}}.
A velocidade de deriva é
v \;=\;\mu\,E.

Passo 3

Usamos valores tabulados de \lambda_0 a 25^\circC:
\begin{aligned} \lambda_0(\mathrm{Li}^+)&=38{,}68\;\mathrm{S\,cm^2\,mol^{-1}},\\\ \lambda_0(\mathrm{Na}^+)&=50{,}11\;\mathrm{S\,cm^2\,mol^{-1}},\\\ \lambda_0(\mathrm{K}^+)&=73{,}50\;\mathrm{S\,cm^2\,mol^{-1}}. \end{aligned}
Calculando \mu e depois v:
\begin{aligned} \mu(\mathrm{Li}^+)&=\frac{38{,}68}{9{,}6485\times10^4} =4{,}01\times10^{-4}\;\mathrm{cm^2\,V^{-1}\,s^{-1}}, &v(\mathrm{Li}^+)&=\mu\,E=4{,}01\times10^{-4}\times10=0{,}00401\;\mathrm{cm\,s^{-1}},\\\ \mu(\mathrm{Na}^+)&=\frac{50{,}11}{9{,}6485\times10^4} =5{,}19\times10^{-4}\;\mathrm{cm^2\,V^{-1}\,s^{-1}}, &v(\mathrm{Na}^+)&=5{,}19\times10^{-4}\times10=0{,}00519\;\mathrm{cm\,s^{-1}},\\\ \mu(\mathrm{K}^+)&=\frac{73{,}50}{9{,}6485\times10^4} =7{,}62\times10^{-4}\;\mathrm{cm^2\,V^{-1}\,s^{-1}}, &v(\mathrm{K}^+)&=7{,}62\times10^{-4}\times10=0{,}00762\;\mathrm{cm\,s^{-1}}. \end{aligned}

Passo 4

O tempo para um íon percorrer 1{,}00,cm é
t \;=\;\frac{\Delta x}{v}
\begin{aligned} t(\mathrm{Li}^+)&=\frac{1{,}00}{0{,}00401}=249{,}4\;\mathrm{s},\\\ t(\mathrm{Na}^+)&=\frac{1{,}00}{0{,}00519}=192{,}7\;\mathrm{s},\\\ t(\mathrm{K}^+)&=\frac{1{,}00}{0{,}00762}=131{,}2\;\mathrm{s}. \end{aligned}

Passo 5

Para corrente alternada de frequência f=1{,}0,kHz, o meio ciclo dura
\Delta t=\frac{1}{2f}=\frac{1}{2\times10^3}=5{,}0\times10^{-4}\;\mathrm{s}.
O deslocamento em meio ciclo é
s = v\,\Delta t.

Passo 6

Calcular s em centímetros:
\begin{aligned} s(\mathrm{Li}^+)&=0{,}00401\times5{,}0\times10^{-4} =2{,}005\times10^{-6}\;\mathrm{cm},\\\ s(\mathrm{Na}^+)&=0{,}00519\times5{,}0\times10^{-4} =2{,}595\times10^{-6}\;\mathrm{cm},\\\ s(\mathrm{K}^+)&=0{,}00762\times5{,}0\times10^{-4} =3{,}810\times10^{-6}\;\mathrm{cm}. \end{aligned}

Passo 7

Converter esses deslocamentos para número de diâmetros do solvente ( d_{\text{solv}}\approx300 pm =3\times10^{-8},cm):
N=\frac{s}{d_{\text{solv}}}
\begin{aligned} N(\mathrm{Li}^+)&=\frac{2{,}005\times10^{-6}}{3\times10^{-8}}\approx67,\\\ N(\mathrm{Na}^+)&=\frac{2{,}595\times10^{-6}}{3\times10^{-8}}\approx87,\\\ N(\mathrm{K}^+)&=\frac{3{,}810\times10^{-6}}{3\times10^{-8}}\approx127. \end{aligned}

Resposta

Velocidades de migração (cm  s^{-}¹): \mathrm{Li}^+: 0{,}00401, \mathrm{Na}^+: 0{,}00519, \mathrm{K}^+: 0{,}00762.
Tempos para cruzar 1 cm (s): \mathrm{Li}^+: 249{,}4, \mathrm{Na}^+: 192{,}7, \mathrm{K}^+: 131{,}2.
Deslocamento em meio ciclo ( f=1{,}0 kHz):
(a) em cm: \mathrm{Li}^+: 2{,}005\times10^{-6}, \mathrm{Na}^+: 2{,}595\times10^{-6}, \mathrm{K}^+: 3{,}810\times10^{-6}.
(b) em diâmetros de solvente: \mathrm{Li}^+: 67, \mathrm{Na}^+: 87, \mathrm{K}^+: 127.

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