21.7 Um aparelho de feixe atômico é projetado para operar com cádmio. A fonte do feixe é uma cảmara mantida a 380 K , com pequena fenda de 1,0 \mathrm{~cm} \times 1,0 \mathrm{~cm} \times 10^{-3} \mathrm{~cm}. Na temperatura mencionada, a pressão de vapor do cádmio é de 0,13 \mathrm{~Pa}. Qual a corrente atômica (isto é, o número de átomos por unidade de tempo) nos feixes?

Passo 1

O enunciado pede a corrente atômica \tfrac{N}{t} de um feixe de cádmio que efunde por uma fenda de área
A = (1{,}0\\ \mathrm{cm})\times(1{,}0\\ \mathrm{cm}) = 1{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2
em uma câmara a T=380\,\mathrm{K} e pressão de vapor p=0{,}13\,\mathrm{Pa}. O conteúdo necessário é o de efusão molecular na teoria cinética dos gases.

Passo 2

Na efusão molecular, a densidade numérica do gás é
n = \frac{p}{kT}
e a velocidade média das partículas é
\bar v = \sqrt{\frac{8\,kT}{\pi\,m}}\,.
A corrente de átomos que atravessa a fenda por unidade de tempo é
\frac{N}{t}=\frac{1}{4}\,n\,\bar v\,A.
Substituindo n e \bar v chegamos a
\frac{N}{t} = A\,\frac{p}{kT}\,\frac{1}{4}\,\sqrt{\frac{8\,kT}{\pi\,m}} = \frac{A\,p}{\sqrt{2\pi\,m\,k\,T}}.

Passo 3

A massa molar do cádmio é M=112{,}41\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}. A massa de um átomo vale
m = \frac{M}{N_A} = \frac{112{,}41\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}} \approx1{,}867\times10^{-25}\,\mathrm{kg}.

Passo 4

Substituindo
A=1{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2,\quad p=0{,}13\,\mathrm{Pa},\quad T=380\,\mathrm{K},\quad k=1{,}381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K},\quad m=1{,}867\times10^{-25}\,\mathrm{kg}
na expressão
\frac{N}{t}=\frac{A\,p}{\sqrt{2\pi\,m\,k\,T}}
obtemos
\frac{N}{t}\approx1{,}7\times10^{17}\,\mathrm{s}^{-1}.

Resposta

\displaystyle\frac{N}{t}\approx1{,}7\times10^{17}\\ \mathrm{átomos/s}á

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