Suponha que uma coluna de CLAE dê origem a picos gaussianos. O detector mede a absorbância em 254 nm . Uma amostra contendo o mesmo número de moles de A e B foi injetada para a coluna. O composto \mathrm{A}\left(\varepsilon_{254}=2,26 \times 10^{4} \mathrm{M}^{-1} \mathrm{~cm}^{-1}\right) tem um pico com uma altura h=128 \mathrm{~mm} e uma meia largura w_{1 / 2}=10,1 \mathrm{~mm}. O composto B ( \varepsilon_{254}=1,68 \times 10^{4} \mathrm{M}^{-1} \mathrm{~cm}^{-1} ) tem w_{1 / 2}= 7,6 \mathrm{~mm}. Qual é a altura do pico B em milímetros?

Passo 1

O enunciado diz que injetamos a mesma quantidade de mols de A e B numa coluna que produz picos gaussianos de absorbância. Para A temos \varepsilon_A=2,26\times10^4\;\mathrm{M}^{-1}\mathrm{cm}^{-1}, altura do pico h_A=128\;\mathrm{mm} e meia‐largura w_{1/2,A}=10,1\;\mathrm{mm}. Para B temos \varepsilon_B=1,68\times10^4\;\mathrm{M}^{-1}\mathrm{cm}^{-1} e w_{1/2,B}=7,6\;\mathrm{mm}. Precisamos achar h_B.

Passo 2

Num pico gaussiano a área sob a curva é
A = \int_{-\infty}^{\infty} h\,\exp\!\bigl(-\tfrac{t^2}{2\sigma^2}\bigr)\,dt = h\sqrt{2\pi}\,\sigma
e a meia‐largura a meio‐alto relaciona‐se com \sigma por
w_{1/2}=2\sqrt{2\ln2}\,\sigma \quad\Longrightarrow\quad \sigma=\frac{w_{1/2}}{2\sqrt{2\ln2}}.

Passo 3

Pela lei de Beer–Lambert e pelo fato de termos o mesmo número de mols injetados, as áreas satisfazem
\frac{A_B}{A_A}=\frac{\varepsilon_B}{\varepsilon_A}.

Passo 4

Como A_i=h_i\sqrt{2\pi}\,\sigma_i, divide‐se termo a termo e obtemos
\frac{h_B}{h_A}\,\frac{\sigma_B}{\sigma_A} =\frac{\varepsilon_B}{\varepsilon_A} \quad\Longrightarrow\quad h_B =\frac{\varepsilon_B}{\varepsilon_A}\,\frac{\sigma_A}{\sigma_B}\,h_A =\frac{\varepsilon_B}{\varepsilon_A}\,\frac{w_{1/2,A}}{w_{1/2,B}}\,h_A.

Passo 5

Substituindo valores:
\frac{\varepsilon_B}{\varepsilon_A} =\frac{1,68\times10^4}{2,26\times10^4}\approx0,743, \quad \frac{w_{1/2,A}}{w_{1/2,B}} =\frac{10,1}{7,6}\approx1,329,
h_B\approx0,743\times1,329\times128\;\mathrm{mm}\approx126{,}5\;\mathrm{mm}.

Resposta

126{,}5\;\mathrm{mm} (aproximadamente 127\;\mathrm{mm}).

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