Um químico tem 12 litros de álcool. Ele retira 3 litros e os substitui por água. Em seguida, retira 3 litros da mistura e os substitui por água novamente. Após efetuar essa operação 5 vezes, aproximadamente quantos litros de álcool sobram na mistura?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Volume total inicial de álcool: 12 litros.
  • Em cada operação: retira-se 3 litros da mistura e repõe-se 3 litros de água.
  • A operação é repetida 5 vezes.
O que é pedido:
  • Quantos litros de álcool restam na mistura após efetuar essa operação 5 vezes?

Passo 2

Entendendo o que acontece numa única operação (explicação didática):
  • Seja V o volume total da mistura (aqui V=12 litros) e seja A a quantidade de álcool presente antes de uma retirada.
  • A concentração de álcool antes de retirar é \dfrac{A}{V} (fração do volume que é álcool).
  • Ao retirar r litros da mistura, remove-se álcool na mesma proporção, ou seja, a quantidade de álcool retirada é r\cdot\dfrac{A}{V}.
  • Assim, a quantidade de álcool que fica imediatamente após a retirada é
A - r\cdot\frac{A}{V} = A\left(1 - \frac{r}{V}\right) = A\cdot\frac{V-r}{V}.
  • Depois de repor com água, o volume volta a ser V, mas a quantidade de álcool permanece a que ficou. Então, o efeito de uma retirada+reposição é multiplicar a quantidade de álcool por \dfrac{V-r}{V}.
Observação prática com números: se a mistura tem A litros de álcool em 12 litros totais e se retira 3 litros, a fração que sobra é 1-\dfrac{3}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}. Logo, cada operação deixa \dfrac{3}{4} da quantidade de álcool anterior.

Passo 3

Generalizando para n operações:
  • Se inicialmente havia A_0 litros de álcool, após n operações a quantidade de álcool é
A_n = A_0\left(\frac{V-r}{V}\right)^{n}.
No nosso caso: A_0=12 litros, V=12 litros, r=3 litros, n=5. Substituindo:
A_5 = 12\left(\frac{12-3}{12}\right)^{5} = 12\left(\frac{9}{12}\right)^{5} = 12\left(\frac{3}{4}\right)^{5}.

Passo 4

Cálculo exato da potência e simplificação:
\left(\frac{3}{4}\right)^{5} = \frac{3^{5}}{4^{5}} = \frac{243}{1024}.
Multiplicando por 12:
A_5 = 12\cdot\frac{243}{1024} = \frac{2916}{1024}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
A_5 = \frac{729}{256}\\ \text{litros}.

Passo 5

Cálculo decimal e arredondamento prático:
\frac{729}{256} \approx 2,84765625\\ \text{litros}.
Para usar na prova normalmente é suficiente arredondar, por exemplo, para três casas decimais: \approx 2,848 litros.
Pequeno encorajamento: essa ideia de “fator multiplicativo” é muito útil — sempre que remover uma fração fixa do volume e repor com solvente puro o soluto diminui por uma potência desse fator. Dá para aplicar isso rápido na prova sem contas complexas.

Resposta

\dfrac{729}{256}\\ \text{litros} \approx 2,84765625\\ \text{litros}

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