Um químico tem 12 litros de álcool. Ele retira 3 litros e os substitui por água. Em seguida, retira 3 litros da mistura e os substitui por água novamente. Após efetuar essa operação 5 vezes, aproximadamente quantos litros de álcool sobram na mistura?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Volume total inicial de álcool:
litros. - Em cada operação: retira-se
litros da mistura e repõe-se litros de água. - A operação é repetida
vezes.
O que é pedido:
- Quantos litros de álcool restam na mistura após efetuar essa operação
vezes?
Passo 2
Entendendo o que acontece numa única operação (explicação didática):
- Seja
o volume total da mistura (aqui litros) e seja a quantidade de álcool presente antes de uma retirada. - A concentração de álcool antes de retirar é
(fração do volume que é álcool). - Ao retirar
litros da mistura, remove-se álcool na mesma proporção, ou seja, a quantidade de álcool retirada é . - Assim, a quantidade de álcool que fica imediatamente após a retirada é
- Depois de repor com água, o volume volta a ser
, mas a quantidade de álcool permanece a que ficou. Então, o efeito de uma retirada+reposição é multiplicar a quantidade de álcool por .
Observação prática com números: se a mistura tem
litros de álcool em
litros totais e se retira
litros, a fração que sobra é
. Logo, cada operação deixa
da quantidade de álcool anterior.
Passo 3
Generalizando para
operações:
- Se inicialmente havia
litros de álcool, após operações a quantidade de álcool é
No nosso caso:
litros,
litros,
litros,
. Substituindo:
Passo 4
Cálculo exato da potência e simplificação:
Multiplicando por
:
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Cálculo decimal e arredondamento prático:
Para usar na prova normalmente é suficiente arredondar, por exemplo, para três casas decimais:
litros.
Pequeno encorajamento: essa ideia de “fator multiplicativo” é muito útil — sempre que remover uma fração fixa do volume e repor com solvente puro o soluto diminui por uma potência desse fator. Dá para aplicar isso rápido na prova sem contas complexas.