Os três primeiros termos de uma progressão geométrica são
e
. Determine o quarto termo dessa progressão.
Passo 1
O enunciado dá os três primeiros termos de uma progressão geométrica e pede o quarto termo. Os dados são:
A pergunta é: qual é
?
Passo 2
Lembrete (fórmula básica que vamos usar): numa progressão geométrica existe uma razão comum
tal que, para todo
,
Isso quer dizer que podemos calcular
a partir dos dois primeiros termos por
Aqui
é o
-ésimo termo da sequência e
é um número que multiplica cada termo para obter o próximo. Vou usar essa relação para encontrar
e depois obter
.
Passo 3
Primeiro escrevo os termos como potências de
(isso facilita operações com raízes):
Observação rápida sobre raízes e potências:
. Isso é útil porque regras de potências ficam simples (por exemplo,
).
Passo 4
Calculo a razão
usando
. Aplicando a regra de potências:
Para subtrair os expoentes uso denominador comum
:
logo
Passo 5
Verificação (opcional, mas bom para confirmar): calcular
:
que é o mesmo
. Portanto os três termos são consistentes com uma progressão geométrica de razão
.
Passo 6
Agora obtenho
aplicando
. Usando regras de potências (produto soma expoentes):