Os três primeiros termos de uma progressão geométrica são \mathrm{a}_{1}=\sqrt{2}, \mathrm{a}_{2}=\sqrt[3]{2} e a_{3}=\sqrt[6]{2}. Determine o quarto termo dessa progressão.

Passo 1

O enunciado dá os três primeiros termos de uma progressão geométrica e pede o quarto termo. Os dados são:
a_1=\sqrt{2},\qquad a_2=\sqrt[3]{2},\qquad a_3=\sqrt[6]{2}.
A pergunta é: qual é a_4?

Passo 2

Lembrete (fórmula básica que vamos usar): numa progressão geométrica existe uma razão comum r tal que, para todo n,
a_{n+1}=a_n\cdot r.
Isso quer dizer que podemos calcular r a partir dos dois primeiros termos por
r=\frac{a_2}{a_1}.
Aqui a_n é o n-ésimo termo da sequência e r é um número que multiplica cada termo para obter o próximo. Vou usar essa relação para encontrar r e depois obter a_4.

Passo 3

Primeiro escrevo os termos como potências de 2 (isso facilita operações com raízes):
a_1=2^{1/2},\qquad a_2=2^{1/3},\qquad a_3=2^{1/6}.
Observação rápida sobre raízes e potências: \sqrt[n]{2}=2^{1/n}. Isso é útil porque regras de potências ficam simples (por exemplo, \dfrac{2^m}{2^n}=2^{m-n}).

Passo 4

Calculo a razão r usando r=\dfrac{a_2}{a_1}. Aplicando a regra de potências:
r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2^{1/3}}{2^{1/2}}=2^{\,1/3-1/2}.
Para subtrair os expoentes uso denominador comum 6:
1/3-1/2=\frac{2-3}{6}=-\frac{1}{6},
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r=2^{-1/6}.

Passo 5

Verificação (opcional, mas bom para confirmar): calcular \dfrac{a_3}{a_2}:
\frac{a_3}{a_2}=\frac{2^{1/6}}{2^{1/3}}=2^{\,1/6-1/3}=2^{-1/6},
que é o mesmo r. Portanto os três termos são consistentes com uma progressão geométrica de razão r=2^{-1/6}.

Passo 6

Agora obtenho a_4 aplicando a_4=a_3\cdot r. Usando regras de potências (produto soma expoentes):
a_4=a_3\cdot r=2^{1/6}\cdot 2^{-1/6}=2^{\,1/6-1/6}=2^{0}=1.

Resposta

1

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