Para \r \vec{r}(t)=\left(\cos ^{2} t, \sin t\right)\r, calcule o vetor tangente e determine os valores de \r t\r onde ele é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a curva em \mathbb{R}^2 \vec{r}(t)=\bigl(\cos^2 t,\;\sin t\bigr)
e pede (1) o vetor tangente \vec{r}\,'(t) e (2) os valores de t em que esse vetor é horizontal.
Conteúdo: derivada de curvas em \mathbb{R}^2 e condição para tangente horizontal (vertical component =0 e horizontal component \neq0).

Passo 2

Para obter o vetor tangente, derivamos componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(\cos^2 t\bigr) =2\cos t\;\frac{d}{dt}(\cos t) =2\cos t\;(-\sin t) =-2\cos t\sin t =-\sin(2t),
\frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t.
Logo
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-\sin(2t),\;\cos t\bigr).

Passo 3

Para que a tangente seja horizontal, precisamos de
y'(t)=\cos t=0 \quad\text{e}\quad x'(t)=-\sin(2t)\neq0.
A condição \cos t=0
t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Mas, nesses mesmos valores,
\sin(2t)=\sin\bigl(\pi+2k\pi\bigr)=0,
logo x'(t)=-\sin(2t)=0 também. Isso significa que o vetor tangente se anula nesses t, não sendo um vetor não nulo horizontal.

Passo 4

Concluímos que não existem valores de t para os quais a tangente seja um vetor horizontal não nulo. Nos pontos em que y'(t)=0, o vetor tangente fica nulo.

Resposta

\displaystyle \vec{r}\,'(t)=\bigl(-\sin(2t),\;\cos t\bigr), e não há valor de t em que a tangente seja horizontal.

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