Seja \r \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t)\r e \r f(x, y)=x^{2}+y^{2}\r. Calcule \r \frac{d}{d t}[f(\vec{r}(t))]\r.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \vec{r}(t)=(\cos t,\;\sin t) e a função escalar f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Queremos \frac{d}{dt}[\,f(\vec{r}(t))]. Este é um caso clássico de regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{d}{dt}[\,f(\vec{r}(t))] =\nabla f(\vec{r}(t))\;\cdot\;\vec{r}\,'(t).

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Por definição,
\nabla f(x,y)=\biggl(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\biggr) =(2x,\;2y).
Logo, ao avaliar em \vec{r}(t), temos
\nabla f(\vec{r}(t))=(2\cos t,\;2\sin t).

Passo 3

Agora calculamos a derivada de \vec{r}(t):
\vec{r}\,'(t)=(-\sin t,\;\cos t).
Fazendo o produto escalar,
\nabla f(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) =(2\cos t)(-\sin t)+(2\sin t)(\cos t) =-2\cos t\sin t+2\sin t\cos t=0.

Resposta

\frac{d}{dt}[\,f(\vec{r}(t))]=0.

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