(**) O raciocínio desenvolvido para a contagem de microestados aplica-se a muitas outras situações envolvendo probabilidades. Por exemplo, se você lançar uma moeda 5 vezes, quantas sequências distintas de 3 caras e 2 coroas são possíveis? Resposta: 10 sequências distintas, como HTHHT (CARA; COROA; CARA; CARA; COROA) ou TTHHH. Por outro lado, quantas sequências distintas de 5 caras e 0 coroas são possíveis? Obviamente, apenas uma, HHHHH, e nossa equação fornece
, utilizando a definição padrão de 0 ! como sendo igual a 1 .
Se é igualmente provável que em um único lançamento da moeda o resultado seja cara ou coroa, qualquer sequência específica, como HTHHT ou HHHHH, é igualmente provável. Entretanto, há uma única forma de obter HHHHH, enquanto há 10 formas de obter 3 caras e 2 coroas, de modo que isso é 10 vezes mais provável do que obter apenas caras.
Utilize a expressão
para calcular o número de formas de obter 0 caras, 1 cara, 2 caras, 3 caras, 4 caras ou 5 caras em uma sequência de 5 lançamentos da moeda. Faça um gráfico do número de formas em função do número de caras.
R:
O gráfico é simétrico, com máximo em
e
.
Utilize a expressão
Passo 1
O que o problema pede: calcular, para cada
, o número de sequências distintas de 5 lançamentos que contêm exatamente
caras. A expressão fornecida é
. Informações relevantes: são
lançamentos (posições diferentes), cada sequência é formada por
caras (H) e
coroas (T), e usamos a fórmula combinatória que conta de quantas maneiras podemos escolher quais posições (entre as 5) serão caras.
Passo 2
Entendendo a fórmula:
. Aqui,
(fatorial) significa o produto dos inteiros positivos até
:
e por convenção
. A razão da fórmula: queremos escolher
posições entre 5 para serem caras; o número de escolhas (combinações) de
itens dentre 5 é exatamente
. Intuição curta:
conta todas as permutações das 5 posições; dividir por
e
remove a ordem interna das caras e das coroas, ficando apenas a escolha de posições distintas.
Passo 3
Cálculo para
. Substituindo na fórmula:
Explicação passo a passo:
,
, então só há 1 forma (todas coroas: TTTTT).
Passo 4
Cálculo para
. Substituindo:
Passo a passo:
, então
. Significa que existem 5 sequências com exatamente 1 cara (a cara pode estar em qualquer uma das 5 posições).
Passo 5
Cálculo para
. Substituindo:
Outra forma rápida:
. Ou seja, 10 sequências com exatamente 2 caras.
Passo 6
Cálculo para
. Substituindo:
Observação: por simetria
, então o resultado é igual a
. Intuição: escolher 3 posições para caras é equivalente a escolher 2 posições para coroas.
Passo 7
Cálculo para
. Substituindo:
Isso coincide com
por simetria.
Passo 8
Cálculo para
. Substituindo:
Apenas uma sequência com 5 caras: HHHHH.
Passo 9
Resumo dos resultados em pares
para facilitar o gráfico:
Como desenhar o gráfico: no eixo horizontal coloque
e no eixo vertical coloque as contagens
. Pode usar pontos ou barras (histograma discreto). Ligue os pontos se quiser visualizar a forma; o gráfico terá um pico em
e
e é simétrico em torno de
.
Passo 10
Ligando com probabilidade (explicação didática extra): cada sequência específica de 5 lançamentos tem probabilidade
. Então a probabilidade de obter exatamente
caras é
Exemplo: para
,
. Isso mostra por que 3 caras é mais provável que 5 caras (10 maneiras contra 1 maneira).
Resposta
O gráfico é simétrico, com máximo em
e
.]