(**) O raciocínio desenvolvido para a contagem de microestados aplica-se a muitas outras situações envolvendo probabilidades. Por exemplo, se você lançar uma moeda 5 vezes, quantas sequências distintas de 3 caras e 2 coroas são possíveis? Resposta: 10 sequências distintas, como HTHHT (CARA; COROA; CARA; CARA; COROA) ou TTHHH. Por outro lado, quantas sequências distintas de 5 caras e 0 coroas são possíveis? Obviamente, apenas uma, HHHHH, e nossa equação fornece 5!/(5!0!)=1, utilizando a definição padrão de 0 ! como sendo igual a 1 .
Se é igualmente provável que em um único lançamento da moeda o resultado seja cara ou coroa, qualquer sequência específica, como HTHHT ou HHHHH, é igualmente provável. Entretanto, há uma única forma de obter HHHHH, enquanto há 10 formas de obter 3 caras e 2 coroas, de modo que isso é 10 vezes mais provável do que obter apenas caras.
Utilize a expressão \frac{5!}{N!(5-N)!} para calcular o número de formas de obter 0 caras, 1 cara, 2 caras, 3 caras, 4 caras ou 5 caras em uma sequência de 5 lançamentos da moeda. Faça um gráfico do número de formas em função do número de caras.
R:
\begin{array}{ll} N=0: & \frac{5!}{0!5!}=1 \\\ N=1: & \frac{5!}{1!4!}=5 \\\ N=2: & \frac{5!}{2!3!}=10 \\\ N=3: & \frac{5!}{3!2!}=10 \\\ N=4: & \frac{5!}{4!1!}=5 \\\ N=5: & \frac{5!}{5!0!}=1 \end{array}
O gráfico é simétrico, com máximo em N=2 e N=3.

Passo 1

O que o problema pede: calcular, para cada N=0,1,2,3,4,5, o número de sequências distintas de 5 lançamentos que contêm exatamente N caras. A expressão fornecida é \frac{5!}{N!(5-N)!}. Informações relevantes: são 5 lançamentos (posições diferentes), cada sequência é formada por N caras (H) e 5-N coroas (T), e usamos a fórmula combinatória que conta de quantas maneiras podemos escolher quais posições (entre as 5) serão caras.

Passo 2

Entendendo a fórmula: \displaystyle \frac{5!}{N!(5-N)!}. Aqui, n! (fatorial) significa o produto dos inteiros positivos até n:
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1,
e por convenção \,0! = 1. A razão da fórmula: queremos escolher N posições entre 5 para serem caras; o número de escolhas (combinações) de N itens dentre 5 é exatamente \displaystyle {5 \choose N}=\frac{5!}{N!(5-N)!}. Intuição curta: 5! conta todas as permutações das 5 posições; dividir por N! e (5-N)! remove a ordem interna das caras e das coroas, ficando apenas a escolha de posições distintas.

Passo 3

Cálculo para N=0. Substituindo na fórmula:
\frac{5!}{0!\,5!}=\frac{120}{1\cdot120}=1.
Explicação passo a passo: \,5!=120, \,0!=1, então só há 1 forma (todas coroas: TTTTT).

Passo 4

Cálculo para N=1. Substituindo:
\frac{5!}{1!\,4!}=\frac{120}{1\cdot24}=5.
Passo a passo: \,4!=24, então 120/24=5. Significa que existem 5 sequências com exatamente 1 cara (a cara pode estar em qualquer uma das 5 posições).

Passo 5

Cálculo para N=2. Substituindo:
\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\cdot6}=\frac{120}{12}=10.
Outra forma rápida: \displaystyle {5\choose2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10. Ou seja, 10 sequências com exatamente 2 caras.

Passo 6

Cálculo para N=3. Substituindo:
\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{120}{6\cdot2}=\frac{120}{12}=10.
Observação: por simetria \displaystyle {5\choose3}={5\choose2}, então o resultado é igual a 10. Intuição: escolher 3 posições para caras é equivalente a escolher 2 posições para coroas.

Passo 7

Cálculo para N=4. Substituindo:
\frac{5!}{4!\,1!}=\frac{120}{24\cdot1}=5.
Isso coincide com \displaystyle {5\choose1}=5 por simetria.

Passo 8

Cálculo para N=5. Substituindo:
\frac{5!}{5!\,0!}=\frac{120}{120\cdot1}=1.
Apenas uma sequência com 5 caras: HHHHH.

Passo 9

Resumo dos resultados em pares (N,\text{nº de formas})º para facilitar o gráfico:
(0,1),\\ (1,5),\\ (2,10),\\ (3,10),\\ (4,5),\\ (5,1).
Como desenhar o gráfico: no eixo horizontal coloque N=0,1,2,3,4,5 e no eixo vertical coloque as contagens 1,5,10,10,5,1. Pode usar pontos ou barras (histograma discreto). Ligue os pontos se quiser visualizar a forma; o gráfico terá um pico em N=2 e N=3 e é simétrico em torno de N=2{,}5.

Passo 10

Ligando com probabilidade (explicação didática extra): cada sequência específica de 5 lançamentos tem probabilidade \displaystyle \frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}. Então a probabilidade de obter exatamente N caras é
P(N)=\frac{1}{32}\cdot\frac{5!}{N!(5-N)!}.
Exemplo: para N=3, P(3)=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}\approx0{,}3125. Isso mostra por que 3 caras é mais provável que 5 caras (10 maneiras contra 1 maneira).

Resposta

\begin{array}{ll} N=0: & \frac{5!}{0!5!}=1 \\[6pt] N=1: & \frac{5!}{1!4!}=5 \\[6pt] N=2: & \frac{5!}{2!3!}=10 \\[6pt] N=3: & \frac{5!}{3!2!}=10 \\[6pt] N=4: & \frac{5!}{4!1!}=5 \\[6pt] N=5: & \frac{5!}{5!0!}=1 \end{array}
O gráfico é simétrico, com máximo em N=2 e N=3.]

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