(**) Para um certo metal, a dureza da ligação interatômica e a massa de um átomo são tais que o espaçamento entre os níveis de energia do oscilador quântico é 1,5 \times 10^{-23} J. Uma nanopartícula desse metal, consistindo de 10 átomos, tem uma energia térmica total de 18 \times 10^{-23} \mathrm{~J}.
(a) Qual a entropia dessa nanopartícula?
R: S=k_{B} \ln (92378)
(b) A temperatura da nanopartícula é de 87 K . Em seguida adicionamos 18 \times 10^{-23} J à nanopartícula. De quanto aumenta a entropia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Espaçamento entre níveis do oscilador quântico: \epsilon = 1{,}5\times10^{-23}\\ \mathrm{J}.
  • Número de átomos (oscilares): N = 10.
  • Energia térmica total da nanopartícula: E = 18\times10^{-23}\\ \mathrm{J} = 1{,}8\times10^{-22}\\ \mathrm{J}.
  • (a) Pergunta: qual a entropia S dessa nanopartícula?
  • (b) Informação adicional: a temperatura da nanopartícula é T = 87\\ \mathrm{K}. Em seguida adicionamos \Delta E = 18\times10^{-23}\\ \mathrm{J} = 1{,}8\times10^{-22}\\ \mathrm{J}. Pergunta: de quanto aumenta a entropia \Delta S?

Passo 2

Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Tratamos a nanopartícula como um “sólido de Einstein” composto por N osciladores independentes, cada um com níveis de energia igualmente espaçados por \epsilon. A energia total acima do mínimo pode ser vista como q “quanta” de energia, onde cada quantum tem energia \epsilon.
  • Então definimos q como o número inteiro de quanta:
q = \frac{E}{\epsilon}.
Expliquei: E é a energia térmica disponível para distribuir entre os osciladores; dividir por \epsilon nos dá em quantas unidades discretas de energia isso corresponde (assumindo que E é um múltiplo inteiro de \epsilon, como usual nesses exercícios).
  • A multiplicidade (número de microestados) \Omega para distribuir q quanta entre N osciladores indistintos na energia, com quanta indistinguíveis, é dada pela fórmula combinatória:
\Omega = \binom{q+N-1}{q}.
Explicação: isso conta o número de formas de colocar q objetos indistinguíveis em N caixas distintas (cada caixa é um oscilador) — é a fórmula clássica de “composição com repetição”.
  • A entropia microcanônica é então
S = k_B \ln(\Omega).
Aqui k_B é a constante de Boltzmann; isso vem da definição de Boltzmann S = k_B \ln \Omega: mais microestados = maior entropia.

Passo 3

Calcular o número de quanta q:
q = \frac{E}{\epsilon} = \frac{1{,}8\times10^{-22}}{1{,}5\times10^{-23}}.
Faço a divisão passo a passo: divido os coeficientes 1{,}8 / 1{,}5 = 1{,}2 e os expoentes 10^{-22}/10^{-23} = 10^{1}. Multiplicando 1{,}2\times10^{1} = 12.

Portanto
q = 12.

Passo 4

Calcular a multiplicidade \Omega com q=12 e N=10:
\Omega = \binom{q+N-1}{q} = \binom{12+10-1}{12} = \binom{21}{12}.
Agora calculo \binom{21}{12}. Uso a identidade \binom{21}{12}=\binom{21}{9} e calculo multiplicativamente:
\binom{21}{12}=\frac{21!}{12!\,9!}.
Uma maneira prática (passo a passo) é calcular multiplicando razões:
\binom{21}{12}=\frac{13\cdot14\cdot15\cdot16\cdot17\cdot18\cdot19\cdot20\cdot21}{9!}.
Fazendo a conta (detalhada nos cálculos):
\binom{21}{12} = 293\,930.

Passo 5

Calcular a entropia S usando S = k_B \ln(\Omega):
S = k_B \ln(293\,930).
Posso dar também o valor numérico em unidades SI. Primeiro calculo \ln(293\,930). Numericamente \ln(293\,930)\approx 12{,}5917. Então
S \approx k_B \times 12{,}5917.
Com k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
S \approx 1{,}737\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}.
Observação didática e empática: se você tinha visto na resposta dada S=k_B\ln(92378), isso corresponderia a \binom{19}{10}=92\,378, que acontece se q fosse 10 em vez de 12. Pode ter sido um atropelo numérico na fonte; com os números do enunciado (energia 1{,}8\times10^{-22} e espaçamento 1{,}5\times10^{-23}) o q correto é 12 e \Omega=293\,930.

Passo 6

Agora a parte (b): aumento de entropia ao adicionar \Delta E = 1{,}8\times10^{-22}\\ \mathrm{J} quando a nanopartícula está a T=87\\ \mathrm{K}.
  • Método termodinâmico direto (recomendado quando a energia é adicionada como calor de forma reversível a temperatura fixa): para um processo reversível a temperatura T constante,
\Delta S = \frac{\Delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Aqui a energia adicionada é calor \Delta Q_{\text{rev}}=\Delta E (pressuposição do enunciado). Então
\Delta S = \frac{\Delta E}{T} = \frac{1{,}8\times10^{-22}}{87}.
Faço a divisão: 1{,}8/87 \approx 0{,}020689655 e com o expoente fica
\Delta S \approx 2{,}0689655\times10^{-24}\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\Delta S \approx 2{,}07\times10^{-24}\\ \mathrm{J/K}.
É útil também expressar isso em unidades de k_B:
\frac{\Delta S}{k_B} \approx \frac{2{,}0689655\times10^{-24}}{1{,}380649\times10^{-23}} \approx 0{,}1498 \approx 0{,}150\\ k_B.

Passo 7

Comentário didático sobre alternativa por contagem de microestados (por que alguns podem tentar fazer isso):
  • Poderíamos, em princípio, recalcular \Omega para a nova energia total E' = E+\Delta E = 3{,}6\times10^{-22}\\ \mathrm{J}, obter q' = E'/\epsilon = 24, calcular \Omega'=\binom{24+10-1}{24}=\binom{33}{24}=\binom{33}{9}=38\,567\,100 e então \Delta S = k_B\ln(\Omega'/\Omega). Isso daria
\Delta S = k_B\ln\!\left(\frac{38\,567\,100}{293\,930}\right)=k_B\ln(131{,}29)\approx k_B\times4{,}8769\approx 6{,}74\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
  • Por que isso difere do valor usando \Delta S=\Delta E/T? Porque os dois enfoques representam situações físicas diferentes: a contagem microcanônica compara dois sistemas isolados com energias fixas (mudança discreta grande na energia total), enquanto \Delta S=\Delta E/T corresponde a adicionar calor reversivelmente mantendo a temperatura do sistema (processo térmico canonico). Para a questão dada, o enunciado fornece a temperatura e pede o aumento de entropia ao adicionar energia — a aplicação direta e correta é \Delta S=\Delta E/T. Além disso, para pequenos sistemas discretos a entropia varia de modo não tão suave e a interpretação microcanônica exige cuidado; por isso o método termodinâmico é o apropriado aqui.

Resposta

(a) S = k_{B}\ln(293\,930) \approx 1{,}737\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}\n
(b) \Delta S = \dfrac{\Delta E}{T} = \dfrac{1{,}8\times10^{-22}}{87} \approx 2{,}07\times10^{-24}\\ \mathrm{J/K} \approx 0{,}150\\ k_{B}

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