(**) Para um certo metal, a dureza da ligação interatômica e a massa de um átomo são tais que o espaçamento entre os níveis de energia do oscilador quântico é
J. Uma nanopartícula desse metal, consistindo de 10 átomos, tem uma energia térmica total de
.
(a) Qual a entropia dessa nanopartícula?
R:
(b) A temperatura da nanopartícula é de 87 K . Em seguida adicionamos
J à nanopartícula. De quanto aumenta a entropia?
(a) Qual a entropia dessa nanopartícula?
(b) A temperatura da nanopartícula é de 87 K . Em seguida adicionamos
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Espaçamento entre níveis do oscilador quântico:
- Número de átomos (oscilares):
- Energia térmica total da nanopartícula:
- (a) Pergunta: qual a entropia
dessa nanopartícula? - (b) Informação adicional: a temperatura da nanopartícula é
. Em seguida adicionamos . Pergunta: de quanto aumenta a entropia ?
Passo 2
Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- Tratamos a nanopartícula como um “sólido de Einstein” composto por
osciladores independentes, cada um com níveis de energia igualmente espaçados por . A energia total acima do mínimo pode ser vista como “quanta” de energia, onde cada quantum tem energia .
- Então definimos
como o número inteiro de quanta:
Expliquei:
é a energia térmica disponível para distribuir entre os osciladores; dividir por
nos dá em quantas unidades discretas de energia isso corresponde (assumindo que
é um múltiplo inteiro de
, como usual nesses exercícios).
- A multiplicidade (número de microestados)
para distribuir quanta entre osciladores indistintos na energia, com quanta indistinguíveis, é dada pela fórmula combinatória:
Explicação: isso conta o número de formas de colocar
objetos indistinguíveis em
caixas distintas (cada caixa é um oscilador) — é a fórmula clássica de “composição com repetição”.
- A entropia microcanônica é então
Aqui
é a constante de Boltzmann; isso vem da definição de Boltzmann
: mais microestados = maior entropia.
Passo 3
Calcular o número de quanta
:
Faço a divisão passo a passo: divido os coeficientes
e os expoentes
. Multiplicando
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Calcular a multiplicidade
com
e
:
Agora calculo
. Uso a identidade
e calculo multiplicativamente:
Uma maneira prática (passo a passo) é calcular multiplicando razões:
Fazendo a conta (detalhada nos cálculos):
Passo 5
Calcular a entropia
usando
:
Posso dar também o valor numérico em unidades SI. Primeiro calculo
. Numericamente
. Então
Com
,
Observação didática e empática: se você tinha visto na resposta dada
, isso corresponderia a
, que acontece se
fosse
em vez de
. Pode ter sido um atropelo numérico na fonte; com os números do enunciado (energia
e espaçamento
) o
correto é
e
.
Passo 6
Agora a parte (b): aumento de entropia ao adicionar
quando a nanopartícula está a
.
- Método termodinâmico direto (recomendado quando a energia é adicionada como calor de forma reversível a temperatura fixa): para um processo reversível a temperatura
constante,
Aqui a energia adicionada é calor
(pressuposição do enunciado). Então
Faço a divisão:
e com o expoente fica
Arredondando com três algarismos significativos:
É útil também expressar isso em unidades de
:
Passo 7
Comentário didático sobre alternativa por contagem de microestados (por que alguns podem tentar fazer isso):
- Poderíamos, em princípio, recalcular
para a nova energia total , obter , calcular e então . Isso daria
- Por que isso difere do valor usando
? Porque os dois enfoques representam situações físicas diferentes: a contagem microcanônica compara dois sistemas isolados com energias fixas (mudança discreta grande na energia total), enquanto corresponde a adicionar calor reversivelmente mantendo a temperatura do sistema (processo térmico canonico). Para a questão dada, o enunciado fornece a temperatura e pede o aumento de entropia ao adicionar energia — a aplicação direta e correta é . Além disso, para pequenos sistemas discretos a entropia varia de modo não tão suave e a interpretação microcanônica exige cuidado; por isso o método termodinâmico é o apropriado aqui.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)