Racionalize os denominadores das frações. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e os denominadores sāo nāo nulos.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dado a fração
.\n - Pede para racionalizar o denominador (ou seja, reescrever a expressão sem radical no denominador).\n
- Suposição:
e o denominador é não nulo (condição já atendida aqui).
Passo 2
Entendendo a forma dos radicais e uma ferramenta útil:\n
- Lembre que
. Isso nos permite trocar raízes por potências racionais quando for conveniente.\n - Aplicando isso ao denominador:
.\n - Assim a expressão fica
. Usando regras de potências, para dividir potências de mesma base subtrai-se expoentes:
- A potência
pode ser reescrita como raiz: . Já vemos que a expressão não tem denominador com radical — portanto está racionalizada. Mas vou mostrar também o procedimento padrão que se usa em prova (multiplicar por fator que elimina a raiz no denominador).
Passo 3
Método usual (multiplicar por um fator que torne o índice da potência múltiplo de
):\n
- O denominador é
. Para que o expoente dentro da raiz some a um múltiplo de precisamos multiplicar por tal que . Logo .\n - Multiplica-se numerador e denominador por
:
Passo 4
Simplificação do denominador e cancelamento:\n
- No denominador, usando a propriedade
:
- Assim a fração fica
- Cancela-se o
do numerador com o do denominador, sobrando
Passo 5
Interpretação final e alternativa de escrita:\n
- A forma racionalizada e simplificada é
.\n - Opcionalmente pode-se escrever
ou ; todas são equivalentes.