Racionalize os denominadores das frações. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e os denominadores sāo nāo nulos.
5 / \sqrt[7]{5^{4}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado a fração \dfrac{5}{\sqrt[7]{5^{4}}}.\n
  • Pede para racionalizar o denominador (ou seja, reescrever a expressão sem radical no denominador).\n
  • Suposição: 5>0 e o denominador é não nulo (condição já atendida aqui).

Passo 2

Entendendo a forma dos radicais e uma ferramenta útil:\n
  • Lembre que \sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}. Isso nos permite trocar raízes por potências racionais quando for conveniente.\n
  • Aplicando isso ao denominador: \sqrt[7]{5^{4}} = 5^{4/7}.\n
  • Assim a expressão fica \dfrac{5}{5^{4/7}}. Usando regras de potências, para dividir potências de mesma base subtrai-se expoentes:
\dfrac{5}{5^{4/7}} = 5^{1 - 4/7} = 5^{3/7}.
  • A potência 5^{3/7} pode ser reescrita como raiz: 5^{3/7} = \sqrt[7]{5^{3}}. Já vemos que a expressão não tem denominador com radical — portanto está racionalizada. Mas vou mostrar também o procedimento padrão que se usa em prova (multiplicar por fator que elimina a raiz no denominador).

Passo 3

Método usual (multiplicar por um fator que torne o índice da potência múltiplo de 7):\n
  • O denominador é \sqrt[7]{5^{4}}. Para que o expoente dentro da raiz some a um múltiplo de 7 precisamos multiplicar por \sqrt[7]{5^{k}} tal que 4+k=7. Logo k=3.\n
  • Multiplica-se numerador e denominador por \sqrt[7]{5^{3}}:
\frac{5}{\sqrt[7]{5^{4}}}\cdot\frac{\sqrt[7]{5^{3}}}{\sqrt[7]{5^{3}}} = \frac{5\sqrt[7]{5^{3}}}{\sqrt[7]{5^{4}}\sqrt[7]{5^{3}}}.

Passo 4

Simplificação do denominador e cancelamento:\n
  • No denominador, usando a propriedade \sqrt[7]{a^{u}}\sqrt[7]{a^{v}}=\sqrt[7]{a^{u+v}}:
\sqrt[7]{5^{4}}\sqrt[7]{5^{3}}=\sqrt[7]{5^{7}}=5.
  • Assim a fração fica
\frac{5\sqrt[7]{5^{3}}}{5}.
  • Cancela-se o 5 do numerador com o do denominador, sobrando
\sqrt[7]{5^{3}}.

Passo 5

Interpretação final e alternativa de escrita:\n
  • A forma racionalizada e simplificada é \sqrt[7]{5^{3}}.\n
  • Opcionalmente pode-se escrever \sqrt[7]{125} ou 5^{3/7}; todas são equivalentes.

Resposta

\sqrt[7]{5^{3}}

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