Racionalize os denominadores das seguintes frações:
\frac{6}{\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede: racionalizar o denominador da fração \frac{6}{\sqrt{2}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 6.
  • Denominador: \sqrt{2}.
  • Objetivo: transformar a expressão de modo que não haja raiz no denominador, mantendo o mesmo valor da fração.

Passo 2

O que significa “racionalizar o denominador” e por que fazemos isso?
  • Racionalizar o denominador significa eliminar raízes (tipo \sqrt{\cdot}) do denominador de uma fração, deixando-o um número racional (sem raízes).
  • Podemos multiplicar numerador e denominador por qualquer número não nulo sem alterar o valor da fração, porque multiplicar por 1 não muda o valor. Ou seja: \frac{a}{b} = \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{c}para qualquer c\neq 0.
  • No caso de um denominador simples \sqrt{a}, o truque é multiplicar por \sqrt{a}/\sqrt{a}, pois \sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a, que é racional quando a é inteiro.

Passo 3

Aplicando o procedimento ao nosso caso: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{2}:
\frac{6}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}.

Passo 4

Calcular o quadrado da raiz no denominador e simplificar:
(\sqrt{2})^2=2,
portanto
\frac{6\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}.
Agora simplificamos dividindo o numerador e o denominador por 2:
\frac{6\sqrt{2}}{2}=\frac{6}{2}\sqrt{2}=3\sqrt{2}.

Resposta

3\sqrt{2}

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