Racionalize os denominadores, supondo que x pertença a um domínio adequado.
\frac{2}{2-\sqrt{2 x}}

Passo 1

O que o problema dá e o que pede. Foi dada a expressão
\frac{2}{2-\sqrt{2x}}
e pede-se racionalizar o denominador (ou seja, eliminar a raiz do denominador), supondo que x esteja em um domínio adequado. Informações relevantes sobre o domínio que vêm do próprio enunciado:
  • A raiz quadrada \sqrt{2x} está definida quando 2x\ge 0, portanto \,x\ge 0.
  • O denominador não pode ser zero: 2-\sqrt{2x}\ne 0. Isso dá \sqrt{2x}\ne 2, ou seja 2x\ne 4 e portanto x\ne 2.
Resumo do domínio adequado usado: \;x\ge 0 e \;x\ne 2.

Passo 2

Explicação da ideia para racionalizar (aula curta e prática). Quando temos um denominador do tipo a-b com b contendo uma raiz, o truque clássico é multiplicar numerador e denominador pela conjugada a+b. A razão é a identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Como b envolve uma raiz quadrada, ao elevar b ao quadrado o radical desaparece (porque (\sqrt{\cdot})^{2}= radicando), então o denominador fica livre de raízes.

Passo 3

Identificar a e b no nosso caso. Aqui
a=2,\qquad b=\sqrt{2x},
logo a conjugada de 2-\sqrt{2x} é 2+\sqrt{2x}. Vamos multiplicar numerador e denominador por essa conjugada (isso não altera o valor da fração, pois multiplicamos por 1 disfarçado).

Passo 4

Multiplicar e simplificar. Começando por multiplicar:
\frac{2}{2-\sqrt{2x}}\cdot\frac{2+\sqrt{2x}}{2+\sqrt{2x}} = \frac{2\bigl(2+\sqrt{2x}\bigr)}{(2-\sqrt{2x})(2+\sqrt{2x})}.
Agora calcule o denominador usando a diferença de quadrados:
(2-\sqrt{2x})(2+\sqrt{2x})=2^{2}-(\sqrt{2x})^{2}=4-(2x)=4-2x.
E o numerador multiplicado é
2\bigl(2+\sqrt{2x}\bigr)=4+2\sqrt{2x}.
Portanto a fração fica
\frac{4+2\sqrt{2x}}{4-2x}.

Passo 5

Fatorar e cancelar fator comum para simplificar (explicar passo a passo). Tanto numerador quanto denominador têm fator 2:
\frac{4+2\sqrt{2x}}{4-2x} = \frac{2\bigl(2+\sqrt{2x}\bigr)}{2\bigl(2-x\bigr)}.
Como 2\ne 0, é legítimo cancelar esse fator 2, obtendo
\frac{2+\sqrt{2x}}{2-x}.
Observe que o denominador agora é 2-x, que não contém raízes — atingimos a racionalização. Também é preciso lembrar a restrição anterior x\ne 2 (pois isso deixaria o denominador zero), e x\ge 0 (para a raiz).

Passo 6

Breve verificação e comentário final. A forma final tem denominador sem radical, então está racionalizada. Pode-se verificar simbolicamente que as duas expressões são iguais para todo x em que ambas estão definidas (multiplicando a forma final por (2-\sqrt{2x})/(2-\sqrt{2x}) volta-se à original). Relembrando o domínio usado: \;x\ge 0 e \;x\ne 2.

Resposta

\dfrac{2+\sqrt{2x}}{2-x}

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