Racionalize os denominadores, supondo que
pertença a um domínio adequado.
Passo 1
O que o problema dá e o que pede. Foi dada a expressão
e pede-se racionalizar o denominador (ou seja, eliminar a raiz do denominador), supondo que
esteja em um domínio adequado. Informações relevantes sobre o domínio que vêm do próprio enunciado:
- A raiz quadrada
está definida quando , portanto . - O denominador não pode ser zero:
. Isso dá , ou seja e portanto .
Resumo do domínio adequado usado:
e
.
Passo 2
Explicação da ideia para racionalizar (aula curta e prática). Quando temos um denominador do tipo
com
contendo uma raiz, o truque clássico é multiplicar numerador e denominador pela conjugada
. A razão é a identidade de diferença de quadrados:
Como
envolve uma raiz quadrada, ao elevar
ao quadrado o radical desaparece (porque
radicando), então o denominador fica livre de raízes.
Passo 3
Identificar
e
no nosso caso. Aqui
logo a conjugada de
é
. Vamos multiplicar numerador e denominador por essa conjugada (isso não altera o valor da fração, pois multiplicamos por
disfarçado).
Passo 4
Multiplicar e simplificar. Começando por multiplicar:
Agora calcule o denominador usando a diferença de quadrados:
E o numerador multiplicado é
Portanto a fração fica
Passo 5
Fatorar e cancelar fator comum para simplificar (explicar passo a passo). Tanto numerador quanto denominador têm fator
:
Como
, é legítimo cancelar esse fator
, obtendo
Observe que o denominador agora é
, que não contém raízes — atingimos a racionalização. Também é preciso lembrar a restrição anterior
(pois isso deixaria o denominador zero), e
(para a raiz).
Passo 6
Breve verificação e comentário final. A forma final tem denominador sem radical, então está racionalizada. Pode-se verificar simbolicamente que as duas expressões são iguais para todo
em que ambas estão definidas (multiplicando a forma final por
volta-se à original). Relembrando o domínio usado:
e
.