Racionalize os denominadores, supondo que
pertença a um domínio adequado.
Passo 1
O enunciado pede para “racionalizar os denominadores” da expressão
, supondo que
pertença a um domínio adequado.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a transformar é
. - Não foi dado explicitamente o domínio; devemos assumir que
está em um domínio em que a expressão original faz sentido (ou seja, a raiz está definida e o denominador não é zero).
Passo 2
O que significa “racionalizar o denominador”?
Racionalizar o denominador é transformar uma fração que tem uma raiz no denominador em uma fração equivalente cujo denominador não contenha raízes (ou seja, seja um número/racional sem radicais). A operação permitida para isso é multiplicar numerador e denominador pelo mesmo fator (que é multiplicar por ), de modo a eliminar a raiz do denominador.
Racionalizar o denominador é transformar uma fração que tem uma raiz no denominador em uma fração equivalente cujo denominador não contenha raízes (ou seja, seja um número/racional sem radicais). A operação permitida para isso é multiplicar numerador e denominador pelo mesmo fator (que é multiplicar por
Exemplo simples e útil: para uma fração do tipo
usa-se o fator
, porque
Note que multiplicar por
é permitido porque esse quociente vale
(desde que esteja definido).
Passo 3
Condição sobre o domínio (por que isso importa):
Para que a operação acima seja válida sem problemas precisamos que esteja definida e diferente de zero. Isso exige:
Para que a operação acima seja válida sem problemas precisamos que
A primeira condição dá
. A segunda exclui o caso
. Portanto o domínio adequado para a racionalização é
(Nesse domínio a multiplicação por
é bem definida.)
Passo 4
Aplicando o procedimento (passo a passo, sem pular etapas):
Multiplica-se numerador e denominador por :
Multiplica-se numerador e denominador por
Agora usamos que
. Assim
Passo 5
Interpretação final e verificação:
A forma tem o denominador sem raízes (é racional em termos de radicais), então a racionalização foi bem-sucedida. A expressão é equivalente à original para todo
. É normal que, após racionalizar o denominador, a raiz apareça no numerador — isso não é problema.
A forma