Um radar fixo mede a velocidade de um carro se afastando usando uma onda de rádio de frequência 173 \times 10^{7} \mathrm{~Hz}. A frequência refletida apresenta um desvio de 211 Hz . Qual é a velocidade do carro, v_{\text {carro }}, em relação ao radar? Considere a velocidade da luz c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Dica: como há uma reflexão, a onda deve percorrer o caminho de volta, enquanto o carro ainda está de afastando do radar. Isto equivale a fazer v_{o b s e r v a d o r}=2 v_{c a r r o}.
Resposta: \square Orlys \bigcirc \mathrm{km} / \mathrm{s} \bigcirc \mathrm{km} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do carro v_{\text{carro}} em relação ao radar. As informações fornecidas são:
\text{frequência da onda emitida: } f_0 = 173 \times 10^{7}\\ \text{Hz},ê
\text{desvio (diferença) de frequência observado: } \Delta f = 211\\ \text{Hz},çê
\text{velocidade da luz: } c = 3 \times 10^{8}\\ \text{m/s}.
A dica do enunciado diz que, por haver reflexão na carroceria, o efeito Doppler ocorre duas vezes, o que equivale a considerar um deslocamento efetivo com velocidade v_{\text{observador}} = 2\,v_{\text{carro}}. A pergunta final é: qual é v_{\text{carro}}?

Passo 2

Explicação didática do efeito que usamos e dedução da fórmula prática. Imagine a onda de frequência f_0 emitida pelo radar. Primeiro a onda atinge o carro que se afasta: num referencial do carro a frequência recebida é menor porque o carro “encontra” as cristas com menor taxa. Para um observador se afastando com velocidade v (com v\ll c) a frequência observada é
f' = f_0\left(1-\frac{v}{c}\right).
Essa onda é refletida e volta para o radar; a reflexão age como se houvesse uma fonte (o carro) emitindo com frequência f' e essa fonte também está se afastando do radar com velocidade v. Ao voltar, o radar recebe a frequência
f'' = f'\left(1-\frac{v}{c}\right) = f_0\left(1-\frac{v}{c}\right)^2.
O desvio absoluto de frequência sentido pelo radar é
\Delta f = f_0 - f'' = f_0\left[1-\left(1-\frac{v}{c}\right)^2\right].
Desenvolvendo o quadrado:
\Delta f = f_0\left(1 - \left(1 - 2\frac{v}{c} + \frac{v^2}{c^2}\right)\right) = f_0\left(2\frac{v}{c} - \frac{v^2}{c^2}\right).
Como na prática a velocidade do carro é muito menor que c ( v\ll c), o termo \dfrac{v^2}{c^2} é desprezível. Assim obtemos a aproximação útil:
\Delta f \approx 2 f_0 \frac{v}{c}.
Isolando v:
v \approx \frac{\Delta f \, c}{2 f_0}.
Observação física simples: essa expressão mostra por que a dica do enunciado diz v_{\text{observador}}=2v_{\text{carro}} — o fator 2 aparece porque há duas etapas do efeito Doppler (ida e volta).

Passo 3

Agora vamos aplicar a fórmula aos números dados. Primeiro escrevo f_0 de forma mais prática:
f_0 = 173 \times 10^{7}\\ \text{Hz} = 1{,}73 \times 10^{9}\\ \text{Hz}.
Substituindo em
v \approx \frac{\Delta f \, c}{2 f_0}
temos
v \approx \frac{211 \times 3\times 10^{8}}{2 \times 1{,}73\times 10^{9}}\\ \text{m/s}.
Calculo passo a passo dos fatores de potências:
\text{numerador} = 211 \times 3\times 10^{8} = 633 \times 10^{8} = 6{,}33\times 10^{10},
\text{denominador} = 2 \times 1{,}73\times 10^{9} = 3{,}46\times 10^{9}.
Dividindo:
v \approx \frac{6{,}33\times 10^{10}}{3{,}46\times 10^{9}} = \left(\frac{6{,}33}{3{,}46}\right)\times 10^{1}\\ \text{m/s}.
Calculando a razão numérica:
\frac{6{,}33}{3{,}46} \approx 1{,}829,
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v \approx 1{,}829 \times 10^{1}\\ \text{m/s} \approx 18{,}3\\ \text{m/s}.

Passo 4

Convém dar a velocidade em outras unidades pedidas/úteis. Convertendo para \text{km/s} e \text{km/h}:
18{,}3\\ \text{m/s} = 0{,}0183\\ \text{km/s},
18{,}3\\ \text{m/s} \times 3{,}6 = 65{,}9\\ \text{km/h}.
(Usei a conversão 1\\ \text{m/s} = 3{,}6\\ \text{km/h}.)

Resposta

0{,}0183\\ \text{km/s}
65{,}9\\ \text{km/h}

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