Se radiação incide na superfície de um meio semitransparente e é absorvida na medida em que se propaga através do meio, a taxa volumétrica de geração de calor q correspondente será distribuída uniformemente no meio? Se não, como q variará com a distância da superfície?

Passo 1

O enunciado pergunta se, quando radiação incide na superfície de um meio semitransparente e é absorvida enquanto atravessa o meio, a taxa volumétrica de geração de calor q será distribuída uniformemente no interior. Se a resposta for “não”, pede que eu explique como q varia com a distância a partir da superfície.
Informações dadas (implícitas no enunciado): radiação incidente numa superfície; o meio é semitransparente (absorve parte da radiação à medida que a radiação penetra); queremos a distribuição espacial da taxa volumétrica de aquecimento q dentro do meio.

Passo 2

Definindo variáveis e hipóteses para começar a modelar (essas são hipóteses padrão para esse tipo de problema e geralmente aceitas em provas):
  • Seja x a distância medida para dentro do meio, com x=0 na superfície onde a radiação entra.
  • Seja I(x) a intensidade (fluxo radiativo) que atravessa uma seção perpendicular ao eixo x no ponto x. A unidade típica é \mathrm{W/m^{2}}.
  • Seja \kappa o coeficiente de absorção do meio (assumimos constante em x para simplificar). \kappa tem unidade \mathrm{m^{-1}} e representa a fração de intensidade absorvida por unidade de comprimento.
  • A taxa volumétrica de geração de calor q(x) é a potência absorvida por unidade de volume em x, com unidade \mathrm{W/m^{3}}.
    Hipóteses de modelagem: incidência normal (1D), não consideramos espalhamento nem emissão interna significativa — só absorção proporcional à intensidade local.

Passo 3

Entendendo fisicamente como a intensidade varia num pequeno trecho: em um pequeno deslocamento \mathrm{d}x dentro do meio, a perda de intensidade \mathrm{d}I é proporcional à intensidade local I e ao comprimento \mathrm{d}x. Isso se traduz na relação diferencial
\mathrm{d}I = -\kappa\, I\,\mathrm{d}x.
Explicação da equação: o termo \kappa\,\mathrm{d}x é a fração da intensidade absorvida em um trecho de espessura \mathrm{d}x; multiplicando por I obtemos a perda de energia por unidade de área naquele trecho. O sinal negativo indica que I diminui com x.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial para encontrar I(x). Separe variáveis:
\frac{\mathrm{d}I}{I} = -\kappa\,\mathrm{d}x.
Integramos ambos os lados desde a superfície ( x=0, intensidade I(0)=I_{0}) até uma posição x:
\int_{I_{0}}^{I(x)}\frac{\mathrm{d}I'}{I'} = -\kappa\int_{0}^{x}\mathrm{d}x'.
As integrais dão
\ln\!\bigg(\frac{I(x)}{I_{0}}\bigg) = -\kappa x.
Exponentiando, obtemos a lei de decaimento exponencial (Lei de Beer–Lambert):
I(x)=I_{0}\,e^{-\kappa x}.
Interpretação: a intensidade decai exponencialmente com a profundidade; portanto não é constante.

Passo 5

Ligando a intensidade I(x) com a taxa volumétrica de aquecimento q(x). A potência absorvida por um fatia de espessura \mathrm{d}x por unidade de área é exatamente a perda de intensidade -\mathrm{d}I. A potência absorvida por unidade de volume é essa perda dividida por \mathrm{d}x, logo
q(x) = -\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x}.
Agora calculamos -\mathrm{d}I/\mathrm{d}x usando I(x)=I_{0}e^{-\kappa x}:
q(x) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(I_{0}e^{-\kappa x}\big) = \kappa I_{0} e^{-\kappa x}.
Forma compacta e útil:
q(x)=\kappa\,I(x).
Significado físico: a taxa volumétrica de aquecimento em cada ponto é proporcional à intensidade local e ao coeficiente de absorção.

Passo 6

Verificações e comentários práticos (coisas úteis para levar à prova):
  • Unidade: q tem unidade \mathrm{W/m^{3}}, pois \kappa tem \mathrm{m^{-1}} e I tem \mathrm{W/m^{2}}.
  • Conservação de energia (checagem): total absorvido por unidade de área numa semi-infinita é
\int_{0}^{\infty} q(x)\,\mathrm{d}x=\kappa I_{0}\int_{0}^{\infty} e^{-\kappa x}\mathrm{d}x=\kappa I_{0}\cdot\frac{1}{\kappa}=I_{0},
ou seja, toda a intensidade incidente I_{0} é absorvida (quando o meio é semi-infinito). Para uma camada de espessura finita L, a energia absorvida por unidade de área é I_{0}-I_{0}e^{-\kappa L}.
  • Caso prático: se \kappa for grande (meio muito absorvente), q concentra-se muito próximo da superfície; se \kappa for pequeno (meio quase transparente), q se espalha mais profundamente.
  • Observação: se houver espalhamento, emissão interna ou incidência oblíqua, a forma exata pode mudar, mas a ideia geral de decaimento e proporcionalidade entre q e I permanece sob modelos simples.

Resposta

Não — a taxa volumétrica de geração de calor não é uniforme; ela decai exponencialmente com a profundidade. Mais precisamente,
q(x)=\kappa I_{0} e^{-\kappa x} = \kappa I(x),
onde I_{0}=I(0) é a intensidade incidente na superfície e \kappa é o coeficiente de absorção do meio.

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