Se radiação incide na superfície de um meio semitransparente e é absorvida na medida em que se propaga através do meio, a taxa volumétrica de geração de calor q correspondente será distribuída uniformemente no meio? Se não, como q variará com a distância da superfície?
Passo 1
O enunciado pergunta se, quando radiação incide na superfície de um meio semitransparente e é absorvida enquanto atravessa o meio, a taxa volumétrica de geração de calor
será distribuída uniformemente no interior. Se a resposta for “não”, pede que eu explique como
varia com a distância a partir da superfície.
Informações dadas (implícitas no enunciado): radiação incidente numa superfície; o meio é semitransparente (absorve parte da radiação à medida que a radiação penetra); queremos a distribuição espacial da taxa volumétrica de aquecimento dentro do meio.
Informações dadas (implícitas no enunciado): radiação incidente numa superfície; o meio é semitransparente (absorve parte da radiação à medida que a radiação penetra); queremos a distribuição espacial da taxa volumétrica de aquecimento
Passo 2
Definindo variáveis e hipóteses para começar a modelar (essas são hipóteses padrão para esse tipo de problema e geralmente aceitas em provas):
- Seja
a distância medida para dentro do meio, com na superfície onde a radiação entra. - Seja
a intensidade (fluxo radiativo) que atravessa uma seção perpendicular ao eixo no ponto . A unidade típica é . - Seja
o coeficiente de absorção do meio (assumimos constante em para simplificar). tem unidade e representa a fração de intensidade absorvida por unidade de comprimento. - A taxa volumétrica de geração de calor
é a potência absorvida por unidade de volume em , com unidade .
Hipóteses de modelagem: incidência normal (1D), não consideramos espalhamento nem emissão interna significativa — só absorção proporcional à intensidade local.
Passo 3
Entendendo fisicamente como a intensidade varia num pequeno trecho: em um pequeno deslocamento
dentro do meio, a perda de intensidade
é proporcional à intensidade local
e ao comprimento
. Isso se traduz na relação diferencial
Explicação da equação: o termo
é a fração da intensidade absorvida em um trecho de espessura
; multiplicando por
obtemos a perda de energia por unidade de área naquele trecho. O sinal negativo indica que
diminui com
.
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial para encontrar
. Separe variáveis:
Integramos ambos os lados desde a superfície (
, intensidade
) até uma posição
:
As integrais dão
Exponentiando, obtemos a lei de decaimento exponencial (Lei de Beer–Lambert):
Interpretação: a intensidade decai exponencialmente com a profundidade; portanto não é constante.
Passo 5
Ligando a intensidade
com a taxa volumétrica de aquecimento
. A potência absorvida por um fatia de espessura
por unidade de área é exatamente a perda de intensidade
. A potência absorvida por unidade de volume é essa perda dividida por
, logo
Agora calculamos
usando
:
Forma compacta e útil:
Significado físico: a taxa volumétrica de aquecimento em cada ponto é proporcional à intensidade local e ao coeficiente de absorção.
Passo 6
Verificações e comentários práticos (coisas úteis para levar à prova):
- Unidade:
tem unidade , pois tem e tem . - Conservação de energia (checagem): total absorvido por unidade de área numa semi-infinita é
ou seja, toda a intensidade incidente
é absorvida (quando o meio é semi-infinito). Para uma camada de espessura finita
, a energia absorvida por unidade de área é
.
- Caso prático: se
for grande (meio muito absorvente), concentra-se muito próximo da superfície; se for pequeno (meio quase transparente), se espalha mais profundamente. - Observação: se houver espalhamento, emissão interna ou incidência oblíqua, a forma exata pode mudar, mas a ideia geral de decaimento e proporcionalidade entre
e permanece sob modelos simples.
Resposta
Não — a taxa volumétrica de geração de calor não é uniforme; ela decai exponencialmente com a profundidade. Mais precisamente,
onde
é a intensidade incidente na superfície e
é o coeficiente de absorção do meio.