1. O rádio se deteriora exponencialmente. Sua meia-vida é de 1690 anos. Quanto tempo levará para uma amostra de 50 g de rádio se reduzir a 5 g ?
Encontrando a constante c :
\begin{gathered} Q(t)=Q_{0} e^{c t} \\\ \frac{Q_{0}}{2}=Q_{0} e^{c 1690} \\\\ 0.5=e^{c 1690} \\\ c=\frac{\ln 0.5}{1690}=-4.1 * 10^{-4} \end{gathered}
Encontrada a função Q(t), basta encontrar t para Q(t)=5 g :
\begin{gathered} Q(t)=Q_{0} e^{\frac{\ln 0.5}{1690} t} \\\\ 5=50 e^{\frac{\ln 0.5}{1690} t} \\\\ 0.1=e^{\frac{\operatorname{ln0.5}}{1696} t} \\\ t=\frac{169070.1}{\ln 0.5}=5614.06 \text { anos } \end{gathered}

Passo 1

O enunciado diz que uma amostra de rádio de 50 g sofre decaimento exponencial com meia-vida de 1690 anos e pede o tempo t para essa amostra chegar a 5 g. O conteúdo envolve modelo de decaimento exponencial e uso da definição de meia-vida para determinar a constante de decaimento.

Passo 2

O modelo de decaimento exponencial é
Q(t)=Q_{0}e^{c t},
onde Q_{0}=50 g é a quantidade inicial e c é uma constante negativa. Pela definição de meia-vida T_{1/2}=1690 anos, temos
\frac{Q_{0}}{2}=Q_{0}e^{c\,T_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac12=e^{c\,1690} \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{\ln(1/2)}{1690}.

Passo 3

Agora impomos Q(t)=5 g no modelo para achar t:
5=50\,e^{c t} \quad\Longrightarrow\quad 0.1=e^{c t} \quad\Longrightarrow\quad \ln(0.1)=c\,t \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln(0.1)}{c}.
Substituindo c=\frac{\ln(1/2)}{1690}, resulta
t =\frac{\ln(0.1)}{\ln(1/2)/1690} =1690\;\frac{\ln(0.1)}{\ln(1/2)}.

Passo 4

Calculando numericamente,
\frac{\ln(0.1)}{\ln(1/2)} =\frac{-2.302585}{-0.693147}\approx3.32193 \quad\Longrightarrow\quad t\approx1690\times3.32193\approx5612\text{ anos}.

Resposta

O tempo aproximado é de 5612 anos.

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